複數絕對值（模）計算機

輸入計算

實部（a）

虛部（b）

結果

大小（模）|a + bi|

5

for 3 + 4i

輻角（弧度）	0.9273 rad
輻角（角度）	53.1301°

什麼是複數的絕對值？

複數 a + bi 的絕對值（又稱為「模」或「大小」）指的是它在複數平面上與原點之間的距離，記作 \(|a + bi|\)，其值恆為非負的實數。由於實部 a 與虛部 b 正好構成直角三角形的兩條直角邊，因此模就是斜邊的長度——只要套用畢氏定理就能直接求得。

模是複平面上從原點到點 a + bi 的距離。

如何使用這個計算機

輸入複數的實部 a 與虛部 b，計算機便會回傳模值，同時以弧度與角度兩種形式顯示輻角（也就是該複數的方向角）。實部與虛部都可以填入負數。

公式說明

模的計算方式如下：

$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

由於各項都先平方，正負號自然被消除，因此結果只取決於實部與虛部的大小。輻角則以 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) 求得，這個函數能在四個象限中都給出正確的角度。

此公式來自畢氏定理：模是直角邊為 a 和 b 的直角三角形的斜邊。

實際範例

以複數 3 + 4i 為例。\(a^{2} = 9\)、\(b^{2} = 16\)，所以 \(a^{2} + b^{2} = 25\)。25 的平方根為 5，因此 $$|3 + 4i| = 5.$$ 輻角為 \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) 弧度 \(\approx 53.13^{\circ}\)。

常見問題

模有可能是負數嗎？不會。因為它是平方和開根號的結果，所以模一定是零或正數。

如果 a 和 b 都是 0 呢？那麼這個複數就是 0，它的模也是 0。此時輻角在數學上是未定義的，但慣例上會回傳 0。

為什麼稱為「絕對值」？因為它是實數絕對值概念的延伸：對於實數（即 \(b = 0\)）來說，\(|a + 0i| = |a|\)，正是我們熟悉的「與零的距離」。