Karmaşık sayının mutlak değeri nedir?
Bir a + bi karmaşık sayısının mutlak değeri (modül veya büyüklük olarak da anılır), karmaşık düzlemde sayının orijine olan uzaklığıdır. \(|a + bi|\) şeklinde gösterilir ve her zaman negatif olmayan bir reel sayıdır. Reel kısım a ile sanal kısım b, bir dik üçgenin iki dik kenarını oluşturduğu için modül de hipotenüse karşılık gelir; yani doğrudan Pisagor teoremiyle bulunur.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Karmaşık sayınızın reel kısmı a ile sanal kısmı b değerlerini girin. Hesaplayıcı, modülün yanı sıra argümanı (sayının açısını) hem radyan hem de derece cinsinden verir. Her iki kısım için de negatif değer girebilirsiniz.
Formülün açıklaması
Modül şu şekilde hesaplanır:
$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$
Her bir bileşenin karesi alındığında işaret ortadan kalkar; böylece sonuç yalnızca reel ve sanal kısımların büyüklüğüne bağlı olur. Argüman ise \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) ile bulunur ve bu, dört bölgenin tamamında doğru açıyı verir.
Çözümlü örnek
3 + 4i karmaşık sayısını ele alalım. Bu durumda \(a^{2} = 9\) ve \(b^{2} = 16\) olur, yani \(a^{2} + b^{2} = 25\). 25'in karekökü 5 olduğundan \(|3 + 4i| = 5\) bulunur. Argüman ise \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ rad} \approx 53{,}13°\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Modül hiç negatif olur mu? Hayır. Karelerin toplamının karekökü olduğu için modül her zaman sıfır veya pozitiftir.
a ve b'nin ikisi de sıfırsa ne olur? Bu durumda karmaşık sayı 0'dır ve modülü de 0 olur. Argüman tanımsızdır, ancak gelenek olarak 0 verilir.
Neden "mutlak değer" deniyor? Çünkü bu kavram, reel sayılardaki mutlak değerin genellemesidir: bir reel sayı için (b = 0), \(|a + 0i| = |a|\) olur ve bu da bildiğimiz, sıfıra olan uzaklığı ifade eder.
