¿Qué es el valor absoluto de un número complejo?
El valor absoluto (también llamado módulo o magnitud) de un número complejo a + bi es su distancia al origen en el plano complejo. Se escribe |a + bi| y siempre es un número real no negativo. Como la parte real a y la parte imaginaria b forman los dos catetos de un triángulo rectángulo, el módulo es la hipotenusa, que se obtiene directamente con el teorema de Pitágoras.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la parte real a y la parte imaginaria b de tu número complejo. La calculadora devuelve el módulo junto con el argumento (el ángulo del número) tanto en radianes como en grados. Puedes usar valores negativos en cualquiera de las dos partes.
La fórmula explicada
El módulo se calcula así:
$$|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$
Al elevar al cuadrado cada componente se elimina cualquier signo, de modo que el resultado depende solo del tamaño de las partes real e imaginaria. El argumento se obtiene con \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\), que da el ángulo correcto en los cuatro cuadrantes.
Ejemplo resuelto
Tomemos el número complejo 3 + 4i. Entonces \(a^{2} = 9\) y \(b^{2} = 16\), por lo que \(a^{2} + b^{2} = 25\). La raíz cuadrada de 25 es 5, así que $$|3 + 4i| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ El argumento es \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\ \text{rad} \approx 53{,}13^{\circ}\).
Preguntas frecuentes
¿El módulo puede ser negativo? No. Como es la raíz cuadrada de una suma de cuadrados, el módulo siempre es cero o positivo.
¿Qué ocurre si tanto a como b valen cero? En ese caso el número complejo es 0 y su módulo es 0. El argumento queda indefinido, pero por convención se devuelve como 0.
¿Por qué se llama valor absoluto? Porque generaliza el valor absoluto de los números reales: para un número real (\(b = 0\)), \(|a + 0i| = |a|\), la conocida distancia al cero.
