¿Qué es la calculadora de potencias de números complejos?
Esta herramienta eleva un número complejo escrito en forma rectangular, \(z = a + bi\), a una potencia \(n\) cualquiera. En lugar de multiplicar el número por sí mismo una y otra vez, lo convierte a forma polar y aplica el teorema de De Moivre, lo que permite calcular potencias enteras —e incluso no enteras— de forma rápida y precisa. El resultado se devuelve en la conocida forma \(a + bi\), junto con su módulo y su argumento.
Cómo usarla
Introduce la parte real \(a\), la parte imaginaria \(b\) y el exponente \(n\). Pulsa calcular para ver el resultado en forma rectangular, el nuevo módulo, el nuevo argumento en grados y los parámetros polares del número original. El exponente puede ser positivo, negativo o fraccionario.
La fórmula explicada
Primero se convierte el número a forma polar: el módulo es \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) y el argumento es \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). El teorema de De Moivre establece entonces que
$$z^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\operatorname{sen} n\theta\right)$$Al desarrollarlo se obtiene la parte real \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) y la parte imaginaria \(r^{n}\cdot\operatorname{sen}(n\theta)\). Usar atan2 garantiza que el ángulo quede en el cuadrante correcto.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(z = 1 + i\) y \(n = 2\). El módulo es \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) y el argumento es \(\theta = 45°\). Entonces \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\) y \(n\theta = 90°\). Así,
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\operatorname{sen} 90°) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i$$Puedes comprobarlo directamente:
$$(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i$$Preguntas frecuentes
¿Puede n ser negativo? Sí. Una potencia negativa equivale a elevar el inverso a la potencia positiva, algo totalmente admitido siempre que z no sea cero.
¿Puede n ser una fracción? Sí: los exponentes fraccionarios devuelven la raíz principal (una sola rama). Las demás raíces se obtienen sumando múltiplos de \(2\pi/n\) al ángulo.
¿Por qué usar atan2 en lugar de arctan? atan2 tiene en cuenta los signos de \(a\) y de \(b\), de modo que el argumento cae en el cuadrante correcto en vez de quedar desviado 180°.
