什么是复数幂运算计算器？
本工具可将以直角坐标形式（即 \(z = a + bi\)）表示的复数求任意 \(n\) 次幂。它无需把这个数反复自乘，而是先把 \(z\) 转换为极坐标形式，再套用棣莫弗定理（De Moivre 定理），这样无论是整数次幂还是非整数次幂都能快速且精确地算出结果。计算结果会以大家熟悉的 \(a + bi\) 形式给出，同时附带它的模长和辐角。
使用方法
输入实部 \(a\)、虚部 \(b\) 和指数 \(n\)，点击「计算」即可看到直角坐标形式的结果、新的模长、以度数表示的新辐角，以及原复数的极坐标参数。指数 \(n\) 可以是正数、负数或分数。
公式详解
首先把复数转换为极坐标形式：模长为 \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)，辐角为 \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)。棣莫弗定理随即给出：
$$z^{n} = r^{n}\left(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\right)$$展开后即得实部 \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) 和虚部 \(r^{n}\cdot\sin(n\theta)\)。使用 \(\operatorname{atan2}\) 可以确保角度落在正确的象限内。
实例演算
设 \(z = 1 + i\)，\(n = 2\)。模长 \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\)，辐角 \(\theta = 45°\)。于是 \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\)，\(n\theta = 90°\)。所以 $$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i$$你也可以直接验证：\((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i\)。
常见问题
\(n\) 可以是负数吗？可以。负指数相当于先取倒数再求正次幂，只要 \(z\) 不为零，本工具就完全支持这种运算。
\(n\) 可以是分数吗？可以——分数指数返回的是主根（其中一个分支）。其他根则是在角度上叠加 \(2\pi/n\) 的整数倍后得到的。
为什么用 \(\operatorname{atan2}\) 而不是 \(\arctan\)？\(\operatorname{atan2}\) 会同时考虑 \(a\) 和 \(b\) 的正负号，因此辐角会落在正确的象限，而不会出现相差 \(180°\) 的偏差。
