Máy tính lũy thừa số phức là gì?
Công cụ này giúp bạn nâng một số phức viết ở dạng đại số (dạng chữ nhật), \(z = a + bi\), lên lũy thừa n bất kỳ. Thay vì nhân số đó với chính nó hết lần này đến lần khác, máy tính sẽ chuyển z sang dạng lượng giác (dạng cực) rồi áp dụng định lý De Moivre, nhờ vậy việc tính lũy thừa nguyên — và cả lũy thừa không nguyên — trở nên nhanh chóng và chính xác. Kết quả được trả về theo dạng a + bi quen thuộc, kèm theo mô-đun và argument tương ứng.
Cách sử dụng
Bạn nhập phần thực a, phần ảo b và số mũ n. Nhấn nút tính để xem kết quả ở dạng đại số, mô-đun mới, argument mới tính theo độ, cùng với các tham số dạng cực của số ban đầu. Số mũ có thể là số dương, số âm hoặc phân số.
Giải thích công thức
Trước tiên, số phức được chuyển sang dạng cực: mô-đun là \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) và argument là \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). Khi đó định lý De Moivre phát biểu rằng
$$z^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i \sin n\theta\right)$$Khai triển ra ta được phần thực là \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) và phần ảo là \(r^{n}\cdot\sin(n\theta)\). Việc dùng hàm atan2 giúp góc luôn nằm đúng góc phần tư.
Ví dụ minh họa
Xét \(z = 1 + i\) và \(n = 2\). Mô-đun là \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) và argument là \(\theta = 45°\). Khi đó \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\) và \(n\theta = 90°\). Vậy
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i \sin 90°) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i$$Bạn có thể kiểm chứng trực tiếp: \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i\).
Câu hỏi thường gặp
n có thể là số âm không? Có. Lũy thừa âm cho ra nghịch đảo nâng lên lũy thừa dương, và công cụ hỗ trợ đầy đủ trường hợp này miễn là z khác 0.
n có thể là phân số không? Có — số mũ phân số trả về căn chính (một nhánh). Các căn khác chỉ khác nhau ở chỗ cộng thêm các bội của \(2\pi/n\) vào góc.
Tại sao dùng atan2 thay vì arctan? Hàm atan2 xét đến dấu của cả a và b, nhờ đó argument rơi đúng vào góc phần tư cần thiết thay vì bị lệch đi 180°.
