Что делает калькулятор степени комплексного числа?
Этот инструмент возводит комплексное число, записанное в алгебраической форме \(z = a + bi\), в произвольную степень \(n\). Вместо того чтобы многократно перемножать число само на себя, калькулятор переводит \(z\) в тригонометрическую (полярную) форму и применяет формулу Муавра — благодаря этому целые и даже дробные степени считаются быстро и точно. Ответ возвращается в привычном виде \(a + bi\), а также сопровождается модулем и аргументом.
Как пользоваться
Введите действительную часть \(a\), мнимую часть \(b\) и показатель степени \(n\). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть результат в алгебраической форме, новый модуль, новый аргумент в градусах, а также полярные параметры исходного числа. Степень может быть положительной, отрицательной или дробной.
Разбор формулы
Сначала число переводится в тригонометрическую форму: модуль равен \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), а аргумент \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). Формула Муавра утверждает, что $$z^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i \sin n\theta\right).$$ Раскрыв скобки, получаем действительную часть \(r^{n}\cdot\cos(n\theta)\) и мнимую часть \(r^{n}\cdot\sin(n\theta)\). Использование \(\operatorname{atan2}\) гарантирует, что угол попадёт в нужную координатную четверть.
Пример с решением
Возьмём \(z = 1 + i\) и \(n = 2\). Модуль равен \(r = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\), а аргумент \(\theta = 45^\circ\). Тогда \(r^{n} = (\sqrt{2})^{2} = 2\) и \(n\theta = 90^\circ\). Значит, $$z^{2} = 2(\cos 90^\circ + i \sin 90^\circ) = 2(0 + i\cdot 1) = 0 + 2i.$$ Это легко проверить напрямую: \((1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i - 1 = 2i\).
Частые вопросы
Может ли \(n\) быть отрицательным? Да. Отрицательная степень даёт обратное число, возведённое в положительную степень, — это полностью поддерживается при условии, что \(z \neq 0\).
Может ли \(n\) быть дробным? Да — дробный показатель возвращает главное значение корня (одну ветвь). Остальные корни отличаются добавлением кратных \(2\pi/n\) к углу.
Почему используется \(\operatorname{atan2}\), а не \(\arctan\)? Функция \(\operatorname{atan2}\) учитывает знаки и \(a\), и \(b\), поэтому аргумент попадает в правильную четверть, а не оказывается смещённым на \(180^\circ\).
