Что делает этот калькулятор
Комплексное число имеет вид \(a + b\,i\), где a — действительная часть, b — мнимая часть, а i — мнимая единица, для которой \(i^2 = -1\). Калькулятор принимает два комплексных числа, \(Z_1 = a + b\,i\) и \(Z_2 = c + d\,i\), и мгновенно выполняет все четыре базовые операции: сумму, разность, произведение и частное — каждый результат выводится в стандартной форме \(a + b\,i\).
Как пользоваться
Вводите каждое число как комплексное выражение, например 2+3i, 3-2i, -i, 5 (чисто действительное) или 4i (чисто мнимое). Пробелы не учитываются, одиночное i воспринимается как 1i, а -i — как -1i. Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть сложение, вычитание, умножение и деление рядом друг с другом.
Разбор формул
Сложение и вычитание выполняются покомпонентно: $$(a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)\,i.$$ Умножение основано на распределительном законе и тождестве \(i^2 = -1\), что даёт \((ac - bd) + (bc + ad)\,i\). При делении числитель и знаменатель умножаются на сопряжённое к \(Z_2\), в результате чего действительная часть равна \(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\), а мнимая — \(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\).
Пример с решением
Пусть \(Z_1 = 2 + 3i\) и \(Z_2 = 4 + 5i\). Тогда сумма равна \(6 + 8i\), разность равна \(-2 - 2i\), а произведение составляет $$(2\cdot 4 - 3\cdot 5) + (3\cdot 4 + 2\cdot 5)\,i = -7 + 22i.$$ Для деления знаменатель равен \(4^2 + 5^2 = 41\), поэтому частное равно $$\frac{8+15}{41} + \frac{12-10}{41}\,i \approx 0{,}560976 + 0{,}048780\,i.$$
Частые вопросы
Что произойдёт при делении на ноль? Если \(Z_2 = 0\) (то есть c и d равны нулю), частное не определено, поэтому строка деления покажет «не определено», а остальные три результата останутся корректными.
Коммутативны ли эти операции? Сложение и умножение коммутативны, а вычитание и деление — нет, поэтому калькулятор строго сохраняет порядок: сначала \(Z_1\), затем \(Z_2\) — ровно так, как вы ввели.
Можно ли вводить отрицательные или дробные коэффициенты? Да. Значения вроде -1.5+0.5i полностью поддерживаются, а чисто действительные и чисто мнимые числа обрабатываются автоматически.
