Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bir karmaşık sayı \(a + b\,i\) biçimindedir; burada a gerçel (reel) kısım, b sanal (imajiner) kısım ve i ise \(i^2 = -1\) eşitliğiyle tanımlanan sanal birimdir. Bu araç, \(Z_1 = a + b\,i\) ve \(Z_2 = c + d\,i\) şeklindeki iki karmaşık sayıyı alır ve dört temel işlemi anında hesaplar: toplam, fark, çarpım ve bölüm; her biri standart \(a + b\,i\) biçiminde verilir.
Nasıl kullanılır?
Her sayıyı karmaşık ifade olarak yazın; örneğin 2+3i, 3-2i, -i, 5 (yalnızca gerçel) veya 4i (yalnızca sanal). Boşluklar dikkate alınmaz; tek başına i ifadesi 1i, -i ise -1i olarak kabul edilir. Hesapla düğmesine bastığınızda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme sonuçlarını yan yana görürsünüz.
Formüllerin açıklaması
Toplama ve çıkarma bileşen bazında çalışır: \((a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)\,i\). Çarpma, dağılma özelliği ile \(i^2 = -1\) eşitliğini birlikte kullanır ve \((ac - bd) + (bc + ad)\,i\) sonucunu verir. Bölmede pay ve payda, Z2'nin eşleniğiyle çarpılır; böylece gerçel kısım \(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\), sanal kısım ise \(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\) olur.
$$\begin{gathered} z_1 = a + b\,i, \qquad z_2 = c + d\,i \\[1em] z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)\,i \\[0.4em] z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)\,i \\[0.4em] z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (bc + ad)\,i \\[0.4em] \frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\,i \end{gathered}$$
Çözümlü örnek
\(Z_1 = 2 + 3i\) ve \(Z_2 = 4 + 5i\) olsun. Bu durumda toplam \(6 + 8i\), fark \(-2 - 2i\) ve çarpım $$(2\cdot 4 - 3\cdot 5) + (3\cdot 4 + 2\cdot 5)\,i = -7 + 22i$$ olur. Bölme için payda \(4^2 + 5^2 = 41\) olduğundan bölüm $$\frac{8+15}{41} + \frac{12-10}{41}\,i \approx 0{,}560976 + 0{,}048780\,i$$ şeklinde bulunur.
Sıkça sorulan sorular
Sıfıra bölersem ne olur? \(Z_2 = 0\) ise (yani hem c hem d sıfırsa) bölüm tanımsızdır; bu nedenle bölme satırı "tanımsız" gösterirken diğer üç sonuç geçerli kalır.
İşlemler değişme özelliğine sahip mi? Toplama ve çarpma değişme özelliği taşır; çıkarma ve bölme ise taşımaz. Bu yüzden hesaplayıcı, girdiğiniz Z1 ardından Z2 sırasını aynen korur.
Negatif veya ondalıklı katsayı girebilir miyim? Evet. -1.5+0.5i gibi değerler tamamen desteklenir; yalnızca gerçel veya yalnızca sanal girdiler de otomatik olarak işlenir.
