Bu hesaplayıcı ne yapar?
Bu araç, hidrojen benzeri bir atomun bağlı durumdaki elektronunun dalga fonksiyonunu hesaplar; yani Z yüklü noktasal bir çekirdek etrafında dönen tek bir elektron için zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin kesin çözümünü verir. Tam dalga fonksiyonu radyal ve açısal olmak üzere iki kısma ayrılır: $$\psi(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\times Y_l^m(\theta,\phi)$$ Araç hem hidrojen (\(Z = 1\)) hem de He+ iyonu (\(Z = 2\)) için çalışır. Mesafeler Bohr yarıçapı cinsinden ifade edilir (\(a = 1\)), bu nedenle \(\psi\), \(a^{-3/2}\) biçiminde atomik benzeri birimlerde elde edilir.
Nasıl kullanılır?
Önce çekirdek yükü \(Z\)'yi seçin, ardından üç kuantum sayısını girin: baş kuantum sayısı \(n\) (1, 2, 3, ...), yörünge (açısal) kuantum sayısı \(l\) (0 ile \(n-1\) arası) ve manyetik kuantum sayısı \(m\) (\(-l\) ile \(+l\) arası). Son olarak dalga fonksiyonunu hesaplamak istediğiniz uzaydaki noktayı belirtin: Bohr yarıçapı cinsinden radyal mesafe \(r\), derece cinsinden kutup açısı \(\theta\) (0 ile 180) ve derece cinsinden azimut açısı \(\phi\) (0 ile 360). Hesaplayıcı size \(\psi\)'nin büyüklüğünü, reel kısmını ve sanal kısmını, ayrıca radyal yoğunluk görselleştirmesi için \(r\) ile \(\psi\) çarpımını döndürür.
Formülün açıklaması
Radyal fonksiyon \(R_{nl}(r)\); bir normalizasyon sabiti, azalan bir üstel terim \(e^{-Zr/(na)}\), \(\rho = 2Zr/(na)\) ile \(\rho^l\) biçiminde bir kuvvet çarpanı ve sonlu bir toplam olarak hesaplanan ilişkili Laguerre polinomu \(L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\) bileşenlerinden oluşur. Açısal fonksiyon \(Y_l^m\) ise ilişkili Legendre fonksiyonu \(P_l^m(\cos\theta)\) ile kompleks faz terimi \(e^{im\phi}\) içerir. \(m = 0\) olduğunda sonuç tamamen reeldir; \(m \neq 0\) olduğunda bir faz taşır, bu nedenle reel kısım, sanal kısım ve büyüklük ayrı ayrı verilir. Unutmayın ki \(|\psi|^2\) (olasılık yoğunluğu) \(\phi\)'ye bağlı değildir.
Çözümlü örnek (1s temel durumu)
\(Z = 1\), \(n = 1\), \(l = 0\), \(m = 0\), \(r = 1\), \(\theta = 0\), \(\phi = 0\) değerlerini girin. Bu durumda \(\rho = 2\) olur, radyal ön çarpan $$\sqrt{\frac{8\times 1}{2\times 1}} = 2$$ (baştaki eksi işaretiyle birlikte \(-2\)), \(e^{-1} = 0.367879\), Laguerre polinomu \(L_0^1(2) = 1\) olur; dolayısıyla \(R_{10}(1) = -0.735759\). Küresel harmonik $$Y_0^0 = \sqrt{\frac{1}{4\pi}} = 0.282095$$ Bunları çarptığımızda \(\psi = -0.207538\) elde edilir; büyüklüğü \(0.207538\)'dir ve bu, \(r = 1\) için ders kitaplarındaki 1s değeri olan \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\,e^{-r}\) ile birebir uyuşur.
Sıkça sorulan sorular
Sonucum neden bazen negatif çıkıyor? Bu hesaplayıcı, \(R_{nl}\) üzerinde yaygın olarak kullanılan baştaki eksi işareti konvansiyonunu benimser. \(|\psi|^2\) gibi fiziksel gözlemlenebilirler genel işaretten etkilenmez.
\(\psi\) hangi birimdedir? Bohr yarıçapı \(a = 1\) alındığında \(\psi\), \(a^{-3/2}\) biriminde verilir. SI değerlerini elde etmek için \(r\)'yi \(a_0 = 5.29177\times 10^{-11}\ \text{m}\) ile çarpın ve \(\psi\)'yi \(a_0^{-3/2}\) ile ölçekleyin.
Neden l değeri yüksek bir durum r = 0'da yok oluyor? \(\rho^l\) çarpanı, \(l > 0\) olduğu her durumda \(R_{nl}\)'i orijinde sıfıra zorlar; yalnızca s-durumlarında (\(l = 0\)) çekirdekte sıfırdan farklı bir yoğunluk vardır.
