À quoi sert ce calculateur
Cet outil évalue la fonction d'onde électronique des états liés d'un atome hydrogénoïde, c'est-à-dire la solution exacte de l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour un unique électron gravitant autour d'un noyau ponctuel de charge Z. La fonction d'onde complète se sépare en une partie radiale et une partie angulaire : \(\psi(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r) \times Y_l^m(\theta,\phi)\). Elle s'applique à l'hydrogène (\(Z = 1\)) comme à l'ion He+ (\(Z = 2\)). Les distances sont exprimées en rayons de Bohr (\(a = 1\)), si bien que \(\psi\) est obtenue dans des unités proches des unités atomiques, en \(a^{-3/2}\).
Comment l'utiliser
Choisissez d'abord la charge nucléaire \(Z\), puis saisissez les trois nombres quantiques : le nombre quantique principal \(n\) (1, 2, 3, …), le nombre quantique orbital \(l\) (de 0 à \(n-1\)) et le nombre quantique magnétique \(m\) (de \(-l\) à \(+l\)). Indiquez ensuite le point de l'espace où vous souhaitez évaluer la fonction d'onde : la distance radiale \(r\) en rayons de Bohr, l'angle polaire \(\theta\) en degrés (0 à 180) et l'angle azimutal \(\phi\) en degrés (0 à 360). Le calculateur renvoie le module, la partie réelle et la partie imaginaire de \(\psi\), ainsi que \(r\cdot\psi\) pour visualiser la densité radiale.
La formule expliquée
$$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$ $$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{nl} &= -\sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}\; e^{-\frac{Zr}{na}} \rho^{\,l}\, L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \\ \rho &= \frac{2\,Z\,r}{n\,a} \\ Y_l^m &= \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\; P_l^{|m|}(\cos\theta)\, e^{im\phi} \end{aligned} \right.$$ La fonction radiale \(R_{nl}(r)\) repose sur une constante de normalisation, une exponentielle décroissante \(e^{-Zr/(na)}\), un facteur en puissance \(\rho^l\) avec \(\rho = 2Zr/(na)\) et un polynôme de Laguerre associé \(L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\) évalué sous forme d'une somme finie. La fonction angulaire \(Y_l^m\) fait appel à la fonction de Legendre associée \(P_l^m(\cos\theta)\) et à la phase complexe \(e^{i m \phi}\). Pour \(m = 0\), le résultat est purement réel ; pour \(m\) différent de 0, il comporte une phase, c'est pourquoi nous indiquons la partie réelle, la partie imaginaire et le module. Notez que \(|\psi|^2\) (la densité de probabilité) ne dépend pas de \(\phi\).
Exemple détaillé (état fondamental 1s)
Posons \(Z = 1\), \(n = 1\), \(l = 0\), \(m = 0\), \(r = 1\), \(\theta = 0\), \(\phi = 0\). On a alors \(\rho = 2\), le préfacteur radial vaut $$\sqrt{\frac{8 \times 1}{2 \times 1}} = 2$$ (soit \(-2\) avec le signe moins en tête), \(e^{-1} = 0{,}367879\) et le polynôme de Laguerre \(L_0^1(2) = 1\), d'où \(R_{10}(1) = -0{,}735759\). L'harmonique \(Y_0^0 = \sqrt{\frac{1}{4\pi}} = 0{,}282095\). Le produit donne \(\psi = -0{,}207538\), soit un module de \(0{,}207538\) — ce qui correspond à la valeur 1s des manuels \(\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-r}\) pour \(r = 1\).
FAQ
Pourquoi mon résultat est-il parfois négatif ? Ce calculateur adopte la convention courante du signe moins en tête de \(R_{nl}\). Les grandeurs physiques observables comme \(|\psi|^2\) ne sont pas affectées par ce signe global.
Dans quelles unités s'exprime \(\psi\) ? Avec le rayon de Bohr fixé à \(a = 1\), \(\psi\) est en unités de \(a^{-3/2}\). Pour obtenir des valeurs en unités SI, multipliez \(r\) par \(a_0 = 5{,}29177\times10^{-11}\ \text{m}\) et appliquez à \(\psi\) le facteur d'échelle \(a_0^{-3/2}\).
Pourquoi un état de \(l\) élevé s'annule-t-il en \(r = 0\) ? Le facteur \(\rho^l\) force \(R_{nl}\) à s'annuler à l'origine dès que \(l > 0\) ; seuls les états s (\(l = 0\)) présentent une densité non nulle au niveau du noyau.
