Qué calcula esta herramienta
Esta calculadora evalúa la función de onda del electrón en estado ligado de un átomo hidrogenoide, es decir, la solución exacta de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un único electrón que orbita un núcleo puntual de carga Z. La función de onda completa se separa en una parte radial y una parte angular: \(\psi(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)\). Funciona tanto para el hidrógeno (\(Z = 1\)) como para el ion He+ (\(Z = 2\)). Las distancias se expresan en radios de Bohr (\(a = 1\)), de modo que \(\psi\) se obtiene en unidades de tipo atómico de \(a^{-3/2}\).
Cómo usarla
Elige la carga nuclear \(Z\) e introduce a continuación los tres números cuánticos: el número cuántico principal \(n\) (1, 2, 3, ...), el número cuántico orbital \(l\) (de 0 a \(n-1\)) y el número cuántico magnético \(m\) (de \(-l\) a \(+l\)). Por último, indica el punto del espacio donde quieres evaluar la función de onda: la distancia radial \(r\) en radios de Bohr, el ángulo polar \(\theta\) en grados (0 a 180) y el ángulo azimutal \(\phi\) en grados (0 a 360). La calculadora devuelve el módulo, la parte real y la parte imaginaria de \(\psi\), además de \(r\,\psi\) para visualizar la densidad radial.
La fórmula al detalle
La función radial \(R_{nl}(r)\) se construye a partir de una constante de normalización, una exponencial decreciente \(e^{-Zr/(na)}\), un factor de potencia \(\rho^l\) con \(\rho = 2Zr/(na)\) y un polinomio asociado de Laguerre \(L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\) evaluado como una suma finita. La función angular \(Y_l^m\) emplea la función asociada de Legendre \(P_l^m(\cos\theta)\) y la fase compleja \(e^{im\phi}\). Cuando \(m = 0\) el resultado es puramente real; cuando \(m\) es distinto de 0 lleva una fase, por lo que mostramos la parte real, la parte imaginaria y el módulo. Conviene recordar que \(|\psi|^2\) (la densidad de probabilidad) no depende de \(\phi\).
$$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{nl} &= -\sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}\; e^{-\frac{Zr}{na}} \rho^{\,l}\, L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \\ \rho &= \frac{2\,\text{Z}\,\text{r}}{\text{n}\,\text{a}} \\ Y_l^m &= \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\; P_l^{|m|}(\cos\theta)\, e^{im\phi} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto (estado fundamental 1s)
Fija \(Z = 1\), \(n = 1\), \(l = 0\), \(m = 0\), \(r = 1\), \(\theta = 0\), \(\phi = 0\). Entonces \(\rho = 2\), el prefactor radial vale \(\sqrt{8 \cdot 1 / (2 \cdot 1)} = 2\) (con el signo menos delante, \(-2\)), \(e^{-1} = 0{,}367879\), el polinomio de Laguerre \(L_0^1(2) = 1\), de modo que \(R_{10}(1) = -0{,}735759\). El armónico \(Y_0^0 = \sqrt{1 / (4\pi)} = 0{,}282095\). Al multiplicar obtenemos \(\psi = -0{,}207538\), con módulo \(0{,}207538\), que coincide con el valor de libro de texto del orbital 1s, \((1/\sqrt{\pi})\, e^{-r}\), evaluado en \(r = 1\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué a veces el resultado sale negativo? Esta calculadora utiliza el convenio habitual de signo menos delante en \(R_{nl}\). Los observables físicos como \(|\psi|^2\) no se ven afectados por el signo global.
¿En qué unidades está \(\psi\)? Con el radio de Bohr fijado en \(a = 1\), \(\psi\) está en unidades de \(a^{-3/2}\). Para pasar a unidades del SI, multiplica \(r\) por \(a_0 = 5{,}29177\mathrm{e}{-11}\ \text{m}\) y escala \(\psi\) por \(a_0^{-3/2}\).
¿Por qué un estado con \(l\) mayor se anula en \(r = 0\)? El factor \(\rho^l\) obliga a que \(R_{nl}\) valga cero en el origen siempre que \(l > 0\); solo los estados s (\(l = 0\)) tienen densidad no nula en el núcleo.
