这个计算器能做什么
本工具用于求解类氢原子的束缚态电子波函数，也就是单个电子绕电荷为 \(Z\) 的点核运动时，定态薛定谔方程的精确解。完整的波函数可以分离成径向部分和角向部分：\(\Psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) \times Y_l^m(\theta, \phi)\)。它既适用于氢原子（\(Z = 1\)），也适用于氦离子 He+（\(Z = 2\)）。这里的距离均以玻尔半径为单位（\(a = 1\)），因此 \(\Psi\) 的结果采用类原子单位 \(a^{-3/2}\)。
使用方法
先选择核电荷 \(Z\)，再依次输入三个量子数：主量子数 \(n\)（1、2、3……）、角量子数 \(l\)（取值 0 到 \(n-1\)）、磁量子数 \(m\)（取值 \(-l\) 到 \(+l\)）。最后输入要计算波函数的空间位置：以玻尔半径为单位的径向距离 \(r\)、以度为单位的极角 \(\theta\)（0 到 180）、以及以度为单位的方位角 \(\phi\)（0 到 360）。计算器会给出 \(\Psi\) 的模、实部和虚部，同时还会输出 \(r\) 乘以 \(\Psi\)，方便绘制径向密度分布。
公式详解
径向函数 \(R_{nl}(r)\) 由以下几部分构成：一个归一化常数、一个衰减指数因子 \(e^{-Zr/(na)}\)、一个幂次因子 \(\rho^l\)（其中 \(\rho = 2Zr/(na)\)），以及一个以有限项求和形式给出的连带拉盖尔多项式 \(L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\)。角向函数 \(Y_l^m\) 则由连带勒让德函数 \(P_l^m(\cos\theta)\) 和复相位因子 \(e^{im\phi}\) 组成。当 \(m = 0\) 时，结果为纯实数；当 \(m \neq 0\) 时，结果带有相位，因此我们会同时报告实部、虚部和模。需要注意的是，\(|\Psi|^2\)（即概率密度）与 \(\phi\) 无关。
$$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{nl} &= -\sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}\; e^{-\frac{Zr}{na}} \rho^{\,l}\, L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \\ \rho &= \frac{2\,\text{Z}\,\text{r}}{\text{n}\,\text{a}} \\ Y_l^m &= \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\; P_l^{|m|}(\cos\theta)\, e^{im\phi} \end{aligned} \right.$$
算例（1s 基态）
取 \(Z = 1\)、\(n = 1\)、\(l = 0\)、\(m = 0\)、\(r = 1\)、\(\theta = 0\)、\(\phi = 0\)。此时 \(\rho = 2\)，径向前置系数为 \(\sqrt{8 \times 1 / (2 \times 1)} = 2\)（含前置负号即 \(-2\)），\(e^{-1} = 0.367879\)，拉盖尔多项式 \(L_0^1(2) = 1\)，因此 \(R_{10}(1) = -0.735759\)。球谐函数 \(Y_0^0 = \sqrt{1 / (4\pi)} = 0.282095\)。两者相乘得到 \(\Psi = -0.207538\)，模为 \(0.207538\)——这与教科书中 1s 态在 \(r = 1\) 处的取值 \((1/\sqrt{\pi}) e^{-r}\) 完全吻合。
常见问题
为什么我算出来的结果有时是负数？本计算器在 \(R_{nl}\) 上采用了常见的前置负号约定。像 \(|\Psi|^2\) 这样的物理可观测量并不受整体符号的影响。
\(\Psi\) 的单位是什么？当玻尔半径取 \(a = 1\) 时，\(\Psi\) 的单位是 \(a^{-3/2}\)。若要换算成国际单位制数值，需将 \(r\) 乘以 \(a_0 = 5.29177\times10^{-11}\ \text{m}\)，并将 \(\Psi\) 按 \(a_0^{-3/2}\) 进行缩放。
为什么 \(l\) 较大的态在 \(r = 0\) 处会消失？因为只要 \(l > 0\)，\(\rho^l\) 因子就会迫使 \(R_{nl}\) 在原点取零；只有 s 态（\(l = 0\)）在原子核处才具有非零的电子密度。
