這個計算器的功能
本工具用來計算類氫原子中電子的束縛態波函數，也就是單一電子環繞點電荷核（電荷 Z）時，定態薛丁格方程式的精確解。完整波函數可拆解為徑向部分與角度部分：\(\Psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) \times Y_l^m(\theta, \phi)\)。它適用於氫原子（\(Z = 1\)）與氦離子 He+（\(Z = 2\)）。距離以波耳半徑為單位（\(a = 1\)），因此 \(\Psi\) 的單位為類原子單位 \(a^{-3/2}\)。
使用方式
先選擇核電荷 \(Z\)，再輸入三個量子數：主量子數 \(n\)（1、2、3……）、角量子數 \(l\)（0 到 \(n-1\)）、磁量子數 \(m\)（\(-l\) 到 \(+l\)）。接著輸入要計算波函數的空間位置：徑向距離 \(r\)（以波耳半徑為單位）、極角 \(\theta\)（0 到 180 度），以及方位角 \(\phi\)（0 到 360 度）。計算器會回傳 \(\Psi\) 的模、實部與虛部，並提供 \(r\) 乘以 \(\Psi\) 的數值，方便進行徑向密度的視覺化。
公式說明
徑向函數 \(R_{nl}(r)\) 由幾個部分組成：一個歸一化常數、一個衰減的指數項 \(e^{-Zr/(na)}\)、一個冪次因子 \(\rho^l\)（其中 \(\rho = 2Zr/(na)\)），以及一個以有限級數計算的締合拉蓋爾多項式 \(L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\)。角度函數 \(Y_l^m\) 則使用締合勒讓德函數 \(P_l^m(\cos\theta)\) 與複數相位 \(e^{im\phi}\)。當 \(m = 0\) 時結果為純實數；當 \(m\) 不為 0 時則帶有相位，因此我們會同時列出實部、虛部與模。請注意，\(|\Psi|^2\)（機率密度）並不依賴於 \(\phi\)。
範例演算（1s 基態）
設定 \(Z = 1\)、\(n = 1\)、\(l = 0\)、\(m = 0\)、\(r = 1\)、\(\theta = 0\)、\(\phi = 0\)。此時 \(\rho = 2\)，徑向前置因子為 $$\sqrt{\frac{8 \times 1}{2 \times 1}} = 2$$（含前置負號則為 \(-2\)），\(e^{-1} = 0.367879\)，拉蓋爾多項式 \(L_0^1(2) = 1\)，因此 \(R_{10}(1) = -0.735759\)。球諧函數 $$Y_0^0 = \sqrt{\frac{1}{4\pi}} = 0.282095$$ 兩者相乘得 \(\Psi = -0.207538\)，模為 \(0.207538\)，恰好與教科書中 1s 在 \(r = 1\) 處的值 \(\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-r}\) 相符。
常見問題
為什麼我算出來的結果有時是負的？本計算器在 \(R_{nl}\) 上採用常見的前置負號慣例。像 \(|\Psi|^2\) 這類物理可觀測量並不會受整體符號影響。
\(\Psi\) 的單位是什麼？當波耳半徑設為 \(a = 1\) 時，\(\Psi\) 的單位為 \(a^{-3/2}\)。若要換算為 SI 單位，請將 \(r\) 乘以 \(a_0 = 5.29177 \times 10^{-11}\) 公尺，並將 \(\Psi\) 乘以 \(a_0^{-3/2}\) 縮放。
為什麼較高 \(l\) 值的狀態在 \(r = 0\) 處會消失？只要 \(l > 0\)，\(\rho^l\) 因子就會迫使 \(R_{nl}\) 在原點為零；唯有 s 軌域（\(l = 0\)）在原子核處才有非零的密度。
