यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल हाइड्रोजन-समान परमाणु में बंधे हुए इलेक्ट्रॉन के वेवफ़ंक्शन की गणना करता है — यही समय-निरपेक्ष श्रोडिंगर समीकरण का सटीक हल है, जब कोई एकल इलेक्ट्रॉन Z आवेश वाले बिंदु-नाभिक के चारों ओर घूम रहा हो। पूरा वेवफ़ंक्शन दो हिस्सों में बँट जाता है — एक त्रिज्यीय (radial) भाग और एक कोणीय (angular) भाग: $\psi(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$। यह हाइड्रोजन ($Z = 1$) और He+ आयन ($Z = 2$) दोनों के लिए काम करता है। दूरियाँ बोर त्रिज्या ($a = 1$) में मापी जाती हैं, इसलिए $\psi$ का मान परमाणविक-जैसी इकाइयों $a^{-3/2}$ में आता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले नाभिकीय आवेश $Z$ चुनें, फिर तीनों क्वांटम संख्याएँ डालें: मुख्य क्वांटम संख्या $n$ (1, 2, 3, ...), कक्षीय क्वांटम संख्या $l$ (0 से $n-1$ तक), और चुंबकीय क्वांटम संख्या $m$ ($-l$ से $+l$ तक)। अंत में वह बिंदु बताएँ जहाँ आप वेवफ़ंक्शन का मान जानना चाहते हैं: त्रिज्यीय दूरी $r$ (बोर त्रिज्या में), ध्रुवीय कोण $\theta$ डिग्री में (0 से 180), और दिगंशीय कोण $\phi$ डिग्री में (0 से 360)। कैलकुलेटर $\psi$ का परिमाण, वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग देता है, साथ ही त्रिज्यीय घनत्व को देखने के लिए $r\,\psi$ भी।

सूत्र की व्याख्या

त्रिज्यीय फ़ंक्शन $R_{nl}(r)$ कई हिस्सों से बना होता है: एक सामान्यीकरण स्थिरांक, एक घटता हुआ चरघातांकी पद $e^{-Zr/(na)}$, एक घात गुणक $\rho^l$ जहाँ $\rho = 2Zr/(na)$, और एक संबद्ध लाग्वेर बहुपद (associated Laguerre polynomial) $L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$ जिसे एक परिमित योग के रूप में निकाला जाता है। कोणीय फ़ंक्शन $Y_l^m$ संबद्ध लीजान्द्र फ़ंक्शन $P_l^m(\cos\theta)$ और सम्मिश्र कलांक (phase) $e^{im\phi}$ का उपयोग करता है। $m = 0$ होने पर परिणाम पूरी तरह वास्तविक होता है; $m \neq 0$ होने पर इसमें एक कलांक जुड़ जाता है, इसलिए हम वास्तविक भाग, काल्पनिक भाग और परिमाण तीनों दिखाते हैं। ध्यान दें कि $|\psi|^2$ (प्रायिकता घनत्व) $\phi$ पर निर्भर नहीं करता।

$$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{nl} &= -\sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}\; e^{-\frac{Zr}{na}} \rho^{\,l}\, L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \\ \rho &= \frac{2\,\text{Z}\,\text{r}}{\text{n}\,\text{a}} \\ Y_l^m &= \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\; P_l^{|m|}(\cos\theta)\, e^{im\phi} \end{aligned} \right.$$

तरंग फलन को त्रिज्यीय भाग R और कोणीय भाग Y के गुणनफल के रूप में दर्शाता आरेख — तरंग फलन एक त्रिज्यीय फलन R(r) और एक कोणीय फलन Y में विभाजित होता है।

हल किया हुआ उदाहरण (1s मूल अवस्था)

मान लीजिए $Z = 1$, $n = 1$, $l = 0$, $m = 0$, $r = 1$, $\theta = 0$, $\phi = 0$। तब $\rho = 2$, त्रिज्यीय गुणक $\sqrt{8 \cdot 1 / (2 \cdot 1)} = 2$ होता है (अग्रणी ऋण चिह्न के साथ, $-2$), $e^{-1} = 0.367879$, लाग्वेर बहुपद $L_0^1(2) = 1$, इसलिए $R_{10}(1) = -0.735759$। हार्मोनिक $Y_0^0 = \sqrt{1 / (4\pi)} = 0.282095$। इन्हें गुणा करने पर $\psi = -0.207538$ मिलता है, जिसका परिमाण $0.207538$ है — जो $r = 1$ पर पाठ्यपुस्तक के 1s मान $(1/\sqrt{\pi})\, e^{-r}$ से मेल खाता है।

गोलाकार 1s कक्षक का इलेक्ट्रॉन बादल, त्रिज्या के साथ घटती प्रायिकता वक्र सहित — 1s मूल अवस्था: नाभिक पर सर्वाधिक घना गोलाकार सममित बादल।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

मेरा परिणाम कभी-कभी ऋणात्मक क्यों आता है? यह कैलकुलेटर $R_{nl}$ पर प्रचलित अग्रणी ऋण-चिह्न परिपाटी का उपयोग करता है। $|\psi|^2$ जैसी भौतिक प्रेक्षणीय राशियों पर इस समग्र चिह्न का कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

$\psi$ किन इकाइयों में होता है? बोर त्रिज्या को $a = 1$ मानने पर $\psi$ की इकाई $a^{-3/2}$ होती है। SI मान पाने के लिए $r$ को $a_0 = 5.29177 \times 10^{-11}\ \text{m}$ से गुणा करें और $\psi$ को $a_0^{-3/2}$ से स्केल करें।

उच्च-l अवस्था $r = 0$ पर शून्य क्यों हो जाती है? जब भी $l > 0$ होता है, $\rho^l$ गुणक $R_{nl}$ को मूल बिंदु पर शून्य कर देता है; केवल s-अवस्थाओं ($l = 0$) का ही नाभिक पर अशून्य घनत्व होता है।

Real part of Ψ	-0.207554
Imaginary part of Ψ	-0
r·Ψ magnitude	0.207554 a^(-1/2)
r·Ψ real part	-0.207554
r·Ψ imaginary part	-0

हाइड्रोजन परमाणु वेवफ़ंक्शन कैलकुलेटर

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