यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल हाइड्रोजन-समान परमाणु में बंधे हुए इलेक्ट्रॉन के वेवफ़ंक्शन की गणना करता है — यही समय-निरपेक्ष श्रोडिंगर समीकरण का सटीक हल है, जब कोई एकल इलेक्ट्रॉन Z आवेश वाले बिंदु-नाभिक के चारों ओर घूम रहा हो। पूरा वेवफ़ंक्शन दो हिस्सों में बँट जाता है — एक त्रिज्यीय (radial) भाग और एक कोणीय (angular) भाग: \(\psi(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)\)। यह हाइड्रोजन (\(Z = 1\)) और He+ आयन (\(Z = 2\)) दोनों के लिए काम करता है। दूरियाँ बोर त्रिज्या (\(a = 1\)) में मापी जाती हैं, इसलिए \(\psi\) का मान परमाणविक-जैसी इकाइयों \(a^{-3/2}\) में आता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले नाभिकीय आवेश \(Z\) चुनें, फिर तीनों क्वांटम संख्याएँ डालें: मुख्य क्वांटम संख्या \(n\) (1, 2, 3, ...), कक्षीय क्वांटम संख्या \(l\) (0 से \(n-1\) तक), और चुंबकीय क्वांटम संख्या \(m\) (\(-l\) से \(+l\) तक)। अंत में वह बिंदु बताएँ जहाँ आप वेवफ़ंक्शन का मान जानना चाहते हैं: त्रिज्यीय दूरी \(r\) (बोर त्रिज्या में), ध्रुवीय कोण \(\theta\) डिग्री में (0 से 180), और दिगंशीय कोण \(\phi\) डिग्री में (0 से 360)। कैलकुलेटर \(\psi\) का परिमाण, वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग देता है, साथ ही त्रिज्यीय घनत्व को देखने के लिए \(r\,\psi\) भी।
सूत्र की व्याख्या
त्रिज्यीय फ़ंक्शन \(R_{nl}(r)\) कई हिस्सों से बना होता है: एक सामान्यीकरण स्थिरांक, एक घटता हुआ चरघातांकी पद \(e^{-Zr/(na)}\), एक घात गुणक \(\rho^l\) जहाँ \(\rho = 2Zr/(na)\), और एक संबद्ध लाग्वेर बहुपद (associated Laguerre polynomial) \(L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)\) जिसे एक परिमित योग के रूप में निकाला जाता है। कोणीय फ़ंक्शन \(Y_l^m\) संबद्ध लीजान्द्र फ़ंक्शन \(P_l^m(\cos\theta)\) और सम्मिश्र कलांक (phase) \(e^{im\phi}\) का उपयोग करता है। \(m = 0\) होने पर परिणाम पूरी तरह वास्तविक होता है; \(m \neq 0\) होने पर इसमें एक कलांक जुड़ जाता है, इसलिए हम वास्तविक भाग, काल्पनिक भाग और परिमाण तीनों दिखाते हैं। ध्यान दें कि \(|\psi|^2\) (प्रायिकता घनत्व) \(\phi\) पर निर्भर नहीं करता।
$$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)\,Y_l^m(\theta,\phi)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{nl} &= -\sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}}\; e^{-\frac{Zr}{na}} \rho^{\,l}\, L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \\ \rho &= \frac{2\,\text{Z}\,\text{r}}{\text{n}\,\text{a}} \\ Y_l^m &= \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\; P_l^{|m|}(\cos\theta)\, e^{im\phi} \end{aligned} \right.$$
हल किया हुआ उदाहरण (1s मूल अवस्था)
मान लीजिए \(Z = 1\), \(n = 1\), \(l = 0\), \(m = 0\), \(r = 1\), \(\theta = 0\), \(\phi = 0\)। तब \(\rho = 2\), त्रिज्यीय गुणक \(\sqrt{8 \cdot 1 / (2 \cdot 1)} = 2\) होता है (अग्रणी ऋण चिह्न के साथ, \(-2\)), \(e^{-1} = 0.367879\), लाग्वेर बहुपद \(L_0^1(2) = 1\), इसलिए \(R_{10}(1) = -0.735759\)। हार्मोनिक \(Y_0^0 = \sqrt{1 / (4\pi)} = 0.282095\)। इन्हें गुणा करने पर \(\psi = -0.207538\) मिलता है, जिसका परिमाण \(0.207538\) है — जो \(r = 1\) पर पाठ्यपुस्तक के 1s मान \((1/\sqrt{\pi})\, e^{-r}\) से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मेरा परिणाम कभी-कभी ऋणात्मक क्यों आता है? यह कैलकुलेटर \(R_{nl}\) पर प्रचलित अग्रणी ऋण-चिह्न परिपाटी का उपयोग करता है। \(|\psi|^2\) जैसी भौतिक प्रेक्षणीय राशियों पर इस समग्र चिह्न का कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
\(\psi\) किन इकाइयों में होता है? बोर त्रिज्या को \(a = 1\) मानने पर \(\psi\) की इकाई \(a^{-3/2}\) होती है। SI मान पाने के लिए \(r\) को \(a_0 = 5.29177 \times 10^{-11}\ \text{m}\) से गुणा करें और \(\psi\) को \(a_0^{-3/2}\) से स्केल करें।
उच्च-l अवस्था \(r = 0\) पर शून्य क्यों हो जाती है? जब भी \(l > 0\) होता है, \(\rho^l\) गुणक \(R_{nl}\) को मूल बिंदु पर शून्य कर देता है; केवल s-अवस्थाओं (\(l = 0\)) का ही नाभिक पर अशून्य घनत्व होता है।
