कार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांक कन्वर्टर

गणना दर्ज करें

X निर्देशांक

Y निर्देशांक

कोण की इकाई डिग्री रेडियन

परिणाम

Polar Coordinates (r, θ)

r = 5

θ = 53.130102 degrees

त्रिज्या r	5
Angle θ	53.130102 deg
कोण (रेडियन)	0.927295 rad
विधि	r = sqrt(x²+y²), θ = atan2(y, x)

यह कन्वर्टर क्या करता है

यह टूल 2D कार्तीय (आयताकार) निर्देशांकों (x, y) में दिए गए किसी बिंदु को ध्रुवीय निर्देशांकों (r, theta) में बदल देता है। त्रिज्या r मूल बिंदु (origin) से उस बिंदु तक की सीधी रेखा में दूरी है, और कोण theta को धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त (counterclockwise) दिशा में मापा जाता है। आप theta को डिग्री में देखें या रेडियन में, यह आपकी पसंद है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

X निर्देशांक और Y निर्देशांक भरें, चुनें कि आप कोण का परिणाम डिग्री में चाहते हैं या रेडियन में, और कैलकुलेटर तुरंत r तथा theta लौटा देगा। ये निर्देशांक मात्रक-रहित (unitless) समतल मान होते हैं, इसलिए r उन्हीं लंबाई इकाइयों में आएगा जिनमें आपने x और y दिए थे।

सूत्र की समझ

त्रिज्या पाइथागोरस प्रमेय से निकलती है: $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$ कोण की गणना दो-तर्क वाले आर्कटैन्जेंट से होती है, $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\ x)$$ यद्यपि कई पाठ्यपुस्तकें \(\theta = \arctan(y/x)\) लिखती हैं, साधारण arctan केवल -90 से 90 डिग्री के बीच के कोण ही लौटाता है और \(x = 0\) होने पर अपरिभाषित हो जाता है। atan2 फ़ंक्शन दोनों समस्याएँ हल कर देता है: यह x और y के चिह्नों को देखकर कोण को सही चतुर्थांश में रखता है और (-180, 180] डिग्री (अर्थात \((-\pi, \pi]\) रेडियन) के बीच मान देता है।

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atan2 सभी चार चतुर्थांशों में x और y के चिह्नों के आधार पर सही कोण चुनता है।

एक बिंदु P जो अपने कार्तीय (x, y) और ध्रुवीय (r, θ) निर्देशांकों से दर्शाया गया है।

हल किया हुआ उदाहरण

\(x = 3\), \(y = 4\) के लिए: $$r = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ कोण \(\operatorname{atan2}(4, 3) = 0.927295\) रेडियन है, जो 53.130102 डिग्री के बराबर है। तो (3, 4) बन जाता है (\(r = 5\), \(\theta = 53.130102\) डिग्री)।

\(x = -1\), \(y = 1\) के लिए (दूसरा चतुर्थांश): \(r = \sqrt{2} = 1.414214\), और \(\operatorname{atan2}(1, -1) = 135\) डिग्री। सीधा-सादा \(\arctan(1 / -1)\) गलत तरीके से -45 डिग्री देता, जिससे साफ़ है कि atan2 क्यों ज़रूरी है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

यह कौन-सी कोण सीमा इस्तेमाल करता है? यह टूल atan2 की परिपाटी का पालन करता है और theta को (-180, 180] डिग्री या \((-\pi, \pi]\) रेडियन में देता है। अगर आपको 0 से 360 की सीमा चाहिए, तो किसी भी ऋणात्मक परिणाम में 360 डिग्री (या \(2\pi\)) जोड़ दें।

मूल बिंदु (origin) पर क्या होता है? अगर \(x = 0\) और \(y = 0\) है, तो \(r = 0\) होगा और कोण गणितीय रूप से अपरिभाषित होता है; परिपाटी के अनुसार \(\operatorname{atan2}(0, 0)\) का मान 0 होता है, इसलिए theta को 0 दिखाया जाता है।

कोण arctan(y/x) क्यों नहीं है? साधारण arctan चतुर्थांश की जानकारी खो देता है और \(x = 0\) होने पर शून्य से भाग की समस्या आती है। atan2 का उपयोग हर चतुर्थांश और ऊर्ध्वाधर अक्ष को सही ढंग से संभालता है।