पोलर से कार्तीय रूपांतरण क्या है?
पोलर निर्देशांक किसी 2D तल में एक बिंदु को दो चीज़ों से दर्शाते हैं — मूल बिंदु (origin) से दूरी, यानी त्रिज्या r, और धन x-अक्ष से नापा गया कोण θ। दूसरी ओर, कार्तीय (आयताकार) निर्देशांक उसी बिंदु को उसकी क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दूरियों, यानी x और y, के रूप में बताते हैं। यह कैलकुलेटर किसी भी पोलर बिंदु को उसके समकक्ष कार्तीय रूप में बदल देता है, और कोण को डिग्री या रेडियन — किसी भी रूप में दर्ज करने की सुविधा देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
पहले त्रिज्या r (मूल बिंदु से दूरी) दर्ज करें, फिर कोण θ भरें। टॉगल की मदद से चुनें कि आपका कोण डिग्री में है या रेडियन में। कन्वर्टर तुरंत संगत x और y निर्देशांक दिखा देता है। त्रिज्या कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है; ऋणात्मक त्रिज्या केवल बिंदु को मूल बिंदु के आर-पार परावर्तित कर देती है (यह θ + 180 डिग्री के बराबर होता है)।
सूत्र की व्याख्या
यह रूपांतरण साधारण त्रिकोणमिति पर आधारित है: \(x = r \cos(\theta)\) और \(y = r \sin(\theta)\)। चूँकि त्रिकोणमितीय फलनों को रेडियन की ज़रूरत होती है, इसलिए डिग्री में दिए गए इनपुट को पहले π/180 के गुणक से बदला जाता है। यानी डिग्री के लिए \(\theta_{rad} = \theta \times \frac{\pi}{180}\), और रेडियन के लिए सीधे \(\theta_{rad} = \theta\)।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(r = 5\) और \(\theta = 60\) डिग्री है। कोण को बदलने पर: $$\theta_{rad} = 60 \times \frac{\pi}{180} = 1.047197551 \text{ रेडियन}$$ फिर $$x = 5 \times \cos(60°) = 5 \times 0.5 = 2.5$$ और $$y = 5 \times \sin(60°) = 5 \times 0.8660254038 = 4.330127019$$ इस प्रकार कार्तीय बिंदु (2.5, 4.330127019) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
जब r = 0 हो तो क्या होता है? बिंदु मूल बिंदु पर ही रहता है, इसलिए कोण चाहे जो भी हो, x = 0 और y = 0 ही रहेंगे।
क्या त्रिज्या ऋणात्मक हो सकती है? हाँ। ऋणात्मक त्रिज्या गणितीय रूप से पूरी तरह मान्य है और बिंदु को विपरीत दिशा में रख देती है, जो कोण में 180 डिग्री (π रेडियन) जोड़ने के बराबर है।
क्या कोण का 0 से 360 डिग्री के बीच होना ज़रूरी है? नहीं। कोई भी वास्तविक कोण चलेगा, क्योंकि sine और cosine आवर्ती (periodic) फलन हैं और पूरी परिधि को संभाल लेते हैं; किसी modulo की ज़रूरत नहीं।
