कैटेनरी कर्व क्या है?
कैटेनरी वह आकृति है जो किसी लचीली ज़ंजीर या केबल को उसके दोनों सिरों से लटकाने पर बनती है, जब वह केवल अपने ही वज़न के नीचे स्वतंत्र रूप से झूलती है। देखने में यह परवलय (parabola) जैसी लगती है, लेकिन असली वक्र को हाइपरबॉलिक कोसाइन फलन यानी \( y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right) \) से दर्शाया जाता है। स्थिरांक a यह तय करता है कि वक्र कितना "गहरा" या "सपाट" होगा: a का बड़ा मान अधिक सपाट और कसा हुआ वक्र देता है, जबकि छोटा a गहरा झुकाव बनाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कैटेनरी स्थिरांक a और सबसे निचले बिंदु (शीर्ष या vertex) से मापी गई क्षैतिज स्थिति x दर्ज करें। कैलकुलेटर उस बिंदु पर वक्र की ऊँचाई y, शीर्ष से ऊपर का झुकाव \((y - a)\) और ढलान \(\left(\frac{dy}{dx}\right)\) बताता है। शीर्ष \(x = 0\) पर होता है, जहाँ \(y = a\) और ढलान \(= 0\) होती है।
सूत्र की व्याख्या
ऊँचाई $$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ से निकलती है, जहाँ cosh हाइपरबॉलिक कोसाइन है। इसका एक बार अवकलन (differentiation) करने पर ढलान मिलती है, $$\frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ शीर्ष पर \((x = 0)\) \(\cosh(0) = 1\) होता है, इसलिए \(y = a\), और \(\sinh(0) = 0\) होता है, इसलिए स्पर्श रेखा क्षैतिज रहती है। सबसे निचले बिंदु के सापेक्ष झुकाव बस \(y - a\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 10\) और \(x = 5\)। तब \(\frac{x}{a} = 0.5\)। \(\cosh(0.5) \approx 1.12763\) होता है, इसलिए \(y = 10 \times 1.12763 \approx 11.2763\)। झुकाव \(y - a \approx 1.2763\) है, और ढलान \(\sinh(0.5) \approx 0.52110\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या कैटेनरी और परवलय एक ही चीज़ हैं? नहीं। नीचे की ओर दोनों एक जैसी दिखती हैं, लेकिन लटकती हुई ज़ंजीर cosh के अनुसार चलती है, जबकि परवलय \((y = kx^2)\) उस भार को दर्शाता है जो क्षैतिज दिशा में समान रूप से बँटा हो — जैसे किसी झूला पुल (suspension bridge) का डेक।
स्थिरांक a किसका प्रतिनिधित्व करता है? यह क्षैतिज तनाव (horizontal tension) को केबल के प्रति इकाई लंबाई के वज़न से भाग देने पर बराबर होता है, और यह डायरेक्ट्रिक्स से ऊपर शीर्ष की ऊँचाई भी होता है।
a शून्य क्यों नहीं हो सकता? x को a से भाग देना ज़रूरी है, इसलिए \(a = 0\) अपरिभाषित होता है; ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर शून्य लौटाता है।
