현수선 곡선 계산기

공식

Show calculation steps (2)

Sag

Sag is the height above the lowest point a
Slope

Slope is the derivative of the curve at x

결과

곡선 높이 y

11.2763

y = a · cosh(x / a)

정점으로부터의 처짐 (y − a)	1.2763
기울기 dy/dx = sinh(x / a)	0.5211

현수선 곡선이란?

현수선(catenary)은 양 끝만 고정된 채 자유롭게 늘어진 유연한 사슬이나 케이블이 자체 무게로 인해 만들어내는 곡선입니다. 언뜻 포물선처럼 보이지만, 실제 곡선은 쌍곡선 코사인 함수 $y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$로 표현됩니다. 상수 a는 곡선이 얼마나 "깊게" 또는 "평평하게" 늘어지는지를 결정합니다. a가 클수록 더 평평하고 팽팽한 곡선이 되고, 작을수록 더 깊이 처지는 곡선이 됩니다.

같은 높이의 두 지지대 사이에 매달려 최저 꼭짓점이 y축 위에 있는 대칭 현수선 — 현수선은 자유롭게 매달린 사슬이 중력으로 만드는 형태로, 중앙 꼭짓점에서 가장 낮습니다.

계산기 사용 방법

현수선 상수 a와 최저점(정점)을 기준으로 측정한 수평 위치 x를 입력하세요. 계산기는 해당 지점에서의 곡선 높이 y, 정점 위로의 처짐($y - a$), 그리고 기울기($\frac{dy}{dx}$)를 계산해 줍니다. 정점은 $x = 0$에 위치하며, 이때 $y = a$이고 기울기는 0입니다.

공식 풀이

높이는 다음과 같이 구하며, 여기서 cosh는 쌍곡선 코사인입니다.

$$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$

한 번 미분하면 기울기를 얻습니다.

$$\frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$

정점($x = 0$)에서는 $\cosh(0) = 1$이므로 $y = a$가 되고, $\sinh(0) = 0$이므로 접선이 수평을 이룹니다. 최저점을 기준으로 한 처짐은 단순히 $y - a$입니다.

위치 x에서의 높이 y, 꼭짓점에서의 처짐, 기울기를 나타내는 접선이 표시된 현수선 — 높이 y, 꼭짓점에서의 처짐, 그리고 선택한 수평 위치 x에서의 접선 기울기.

계산 예시

$a = 10$, $x = 5$인 경우를 살펴보겠습니다. 그러면 $\frac{x}{a} = 0.5$입니다. $\cosh(0.5) \approx 1.12763$이므로 $$y = 10 \times 1.12763 \approx 11.2763$$이 됩니다. 처짐은 $y - a \approx 1.2763$이고, 기울기는 $\sinh(0.5) \approx 0.52110$입니다.