포물선(초점 (0, f)) 좌표표·그래프 계산기

계산 입력

초점거리 f (초점 위치 (0, f))

x 범위: 최솟값

x 범위: 최댓값

표의 행 개수 (점의 수)

결과

포물선의 방정식

y = x^2 / (4.0)

opens upward, vertex at (0, 0)

준선	y = -1.0
초점거리 (꼭짓점에서 초점까지)	1
통경 길이	4
반통경	2
표본 간격 (x)	1

x	y = x² / (4f)
-5	6.25
-4	4
-3	2.25
-2	1
-1	0.25
0	0
1	0.25
2	1
3	2.25
4	4
5	6.25

이 계산기의 기능

이 도구는 꼭짓점이 원점 (0, 0)에 있고 초점이 y축 위의 점 (0, f)에 놓인 표준형 세로 포물선을 좌표표로 정리하고 분석합니다. 방정식은 \(x^2 = 4fy\), 즉 명시적 형태로는 \(y = \frac{x^2}{4f}\)입니다. 순수한 해석기하학에 기반하기 때문에 어느 나라에서나 동일하게 작동합니다. 모든 값은 하나의 일관된 길이 단위로 표현되는 차원 없는 실수입니다.

사용 방법

먼저 초점거리 f(초점의 y좌표)를 입력합니다. 그다음 표본을 추출할 x 범위를 최솟값, 최댓값, 그리고 표의 행 개수로 지정하세요. 계산기는 xMin부터 xMax까지 x를 균등하게 나누어 각 (x, y) 쌍을 구하고, 여기에 더해 포물선의 방정식, 준선, 초점거리, 통경을 함께 반환합니다. f가 양수이면 곡선이 위로 열리고, 음수이면 아래로 열립니다.

공식 풀이

포물선은 한 초점과 하나의 준선에서 같은 거리에 있는 점들의 집합입니다. 초점을 (0, f)에, 준선을 \(y = -f\)에 두고 두 거리를 같다고 놓은 뒤 양변을 제곱하면 \(x^2 = 4fy\)를 얻습니다.

$$\text{step} = \frac{\text{xMax} - \text{xMin}}{\text{numPoints} - 1}$$

각 점은 \(x_i = \text{xMin} + i \cdot \text{step}\), \(y_i = \dfrac{x_i^2}{4f}\)로 구합니다. 초점을 지나는 현의 전체 길이(통경)는 \(|4f|\)이고, 그 절반(반통경)은 \(|2f|\)입니다.

\(y = \frac{x^2}{4f}\)의 주요 특징: 꼭짓점은 원점, 초점은 (0, f), 준선은 \(y = -f\).

계산 예시

f = 1, xMin = -2, xMax = 2, 점 5개를 입력하면 간격은 \(\frac{2 - (-2)}{5-1} = 1\)이 되어 x = -2, -1, 0, 1, 2가 됩니다. \(y = \frac{x^2}{4}\)를 적용하면 y = 1, 0.25, 0, 0.25, 1을 얻습니다. 방정식은 \(y = \frac{x^2}{4}\), 준선은 \(y = -1\), 초점거리는 1, 통경은 4이며, 통경의 양 끝점 (-2, 1)과 (2, 1)은 x = ±2 행과 정확히 일치합니다.

각 x 값은 \(y = \frac{x^2}{4f}\)를 주며, 대칭인 x 값은 같은 y를 가져 포물선을 그린다.

자주 묻는 질문

왜 f는 0이 될 수 없나요? f = 0이면 공식에서 0으로 나누게 되고 초점이 꼭짓점과 겹쳐버려 포물선이 성립하지 않습니다. 그래서 이 도구는 해당 입력을 받지 않습니다.

f는 y = a·x²와 어떤 관계가 있나요? \(y = ax^2\)와 \(y = \frac{x^2}{4f}\)를 비교하면 \(a = \frac{1}{4f}\)가 되므로 \(f = \frac{1}{4a}\)입니다.

표는 항상 대칭인가요? 네. y는 오직 \(x^2\)에만 의존하므로 x 범위가 대칭이면 y 열도 대칭으로 나타납니다.