この計算ツールでできること
頂点が原点 (0, 0)、焦点が y 軸上の点 (0, f) にある縦型の標準放物線を数表化し、各種の量を求めるツールです。方程式は \(x^2 = 4fy\)、明示形では \(y = \dfrac{x^2}{4f}\) と表されます。これは純粋な解析幾何に基づくため、国や地域に関係なくどこでも同じように使えます。すべての量は、同一の長さ単位で表した無次元の実数として扱われます。
使い方
まず焦点距離 f（焦点の y 座標）を入力します。次に、サンプリングする x の範囲を最小値・最大値・表の行数で指定します。計算ツールは xMin から xMax まで x を等間隔で取り、各 (x, y) の組に加えて、放物線の方程式・準線・焦点距離・通径を返します。f が正なら曲線は上に開き、負なら下に開きます。
公式の解説
放物線とは、焦点と準線（定直線）から等距離にある点の集合です。焦点を (0, f)、準線を \(y = -f\) に置き、2 つの距離が等しいとして両辺を 2 乗すると \(x^2 = 4fy\) が得られます。サンプリングの刻み幅は $$\text{step} = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{\text{numPoints} - 1}$$ 各点は \(x_i = x_{\min} + i \cdot \text{step}\)、\(y_i = \dfrac{x_i^2}{4f}\) です。焦点を通る弦（通径＝latus rectum）の長さは \(|4f|\)、その半分（半通径）は \(|2f|\) です。
計算例
f = 1、xMin = -2、xMax = 2、点数 5 の場合、刻み幅は $$\frac{2 - (-2)}{5 - 1} = 1$$ となり、x = -2, -1, 0, 1, 2 になります。\(y = \dfrac{x^2}{4}\) を使うと y = 1, 0.25, 0, 0.25, 1 です。方程式は \(y = \dfrac{x^2}{4}\)、準線は \(y = -1\)、焦点距離は 1、通径は 4 で、その端点 (-2, 1) と (2, 1) は x = ±2 の行と一致します。
よくある質問
なぜ f は 0 ではいけないのですか？ f = 0 だと公式が 0 で割る形になり、焦点が頂点に重なって放物線が退化してしまいます。そのため、このツールではこのケースを受け付けません。
f と y = a·x² の関係は？ \(y = a x^2\) と \(y = \dfrac{x^2}{4f}\) を比べると \(a = \dfrac{1}{4f}\) となり、したがって \(f = \dfrac{1}{4a}\) です。
数表は必ず左右対称になりますか？ はい。y は \(x^2\) だけに依存するため、x の範囲を対称に取れば y の列も対称になります。
