Что делает этот калькулятор
Этот инструмент строит таблицу значений и анализирует каноническую вертикальную параболу, вершина которой находится в начале координат (0, 0), а фокус — в точке (0, f) на оси ординат. Её уравнение: \(x^2 = 4fy\), или в явном виде \(y = x^2 / (4f)\). Поскольку всё основано на чистой аналитической геометрии, расчёт работает одинаково в любой точке мира — каждая величина является безразмерным действительным числом в одной и той же единице длины.
Как пользоваться
Введите фокальное расстояние f (ордината фокуса), затем задайте диапазон по x — минимум, максимум и количество строк в таблице. Калькулятор равномерно распределит значения x от xMin до xMax и вернёт каждую пару (x, y), а также уравнение параболы, уравнение директрисы, фокальное расстояние и длину фокальной хорды (latus rectum). При положительном f ветви параболы направлены вверх, при отрицательном — вниз.
Разбор формулы
Парабола — это множество точек, равноудалённых от фокуса и от прямой-директрисы. Поместив фокус в (0, f), а директрису на прямую \(y = -f\), приравняв оба расстояния и возведя в квадрат, получаем \(x^2 = 4fy\). Шаг выборки равен $$\text{step} = \frac{\text{xMax} - \text{xMin}}{\text{numPoints} - 1}$$, а каждая точка вычисляется как \(x_i = \text{xMin} + i\cdot\text{step}\), \(y_i = x_i^2 / (4f)\). Полная фокальная хорда (latus rectum) имеет длину \(|4f|\), а её половина (полуфокальный параметр) равна \(|2f|\).
Пример расчёта
При f = 1, xMin = −2, xMax = 2 и 5 точках шаг равен $$\frac{2 - (-2)}{5 - 1} = 1,$$ что даёт x = −2, −1, 0, 1, 2. По формуле \(y = x^2/4\) получаем y = 1, 0,25, 0, 0,25, 1. Уравнение — \(y = x^2/4\), директриса — \(y = -1\), фокальное расстояние равно 1, а длина фокальной хорды — 4; её концы (−2, 1) и (2, 1) совпадают со строками при x = ±2.
Часто задаваемые вопросы
Почему f не может быть равно нулю? При f = 0 в формуле возникает деление на ноль, а фокус сливается с вершиной — парабола вырождается. Калькулятор не принимает такое значение.
Как f связано с записью \(y = a\cdot x^2\)? Сравнивая \(y = a\cdot x^2\) с \(y = x^2/(4f)\), получаем \(a = 1/(4f)\), откуда \(f = 1/(4a)\).
Всегда ли таблица симметрична? Да — y зависит только от \(x^2\), поэтому симметричный диапазон по x даёт симметричный столбец значений y.
