Что такое интегральный логарифм li(x)?
Интегральный логарифм, обозначаемый \(\operatorname{li}(x)\), — это специальная функция, которая определяется как интеграл от \(1/\ln(t)\) в пределах от 0 до \(x\). Поскольку подынтегральное выражение имеет особенность в точке \(t = 1\), при \(x > 1\) интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Эта функция играет ключевую роль в аналитической теории чисел: согласно закону распределения простых чисел, функция распределения простых чисел \(\pi(x)\) асимптотически эквивалентна \(\operatorname{li}(x)\), и \(\operatorname{li}(x)\) — одно из самых точных простых приближений для количества простых чисел, не превосходящих \(x\). Калькулятор использует определение без сдвига \(\operatorname{li}(x)\) (нижний предел 0), а не эйлеров вариант \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\).
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: начальное значение \(x\), шаг (приращение, прибавляемое к каждой следующей строке) и число итераций (количество строк). Калькулятор строит таблицу, в которой в строке \(i\) стоит $$x = \text{startX} + i \times \text{step}$$ и соответствующее значение \(\operatorname{li}(x)\). Кроме того, строится линейный график зависимости \(\operatorname{li}(x)\) от \(x\). Чтобы получить осмысленный вещественный результат, выбирайте начало выше 0; обычные значения по умолчанию — \(\text{startX} = 2\), шаг \(0{,}2\) и 61 итерация, что даёт таблицу \(x\) от \(2{,}0\) до \(14{,}0\).
Разбор формулы
Мы вычисляем $$\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x),$$ где \(\operatorname{Ei}\) — интегральная показательная функция. Значение \(\operatorname{Ei}(z)\) находится по сходящемуся ряду $$\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!},$$ где \(\gamma = 0{,}5772156649\ldots\) — постоянная Эйлера — Маскерони. Суммирование продолжается до тех пор, пока очередное слагаемое не станет пренебрежимо малым по сравнению с накопленной суммой. Граничные случаи обрабатываются по стандартным соглашениям: при \(x \le 0\) возвращается 0, а при \(x = 1\) — минус бесконечность (особая точка).
Разобранный пример
Для \(x = 2\) имеем \(z = \ln 2 = 0{,}6931472\). Сложив \(\gamma + \ln|z|\) и ряд, получаем $$\operatorname{Ei}(0{,}6931472) = 1{,}0451638,$$ то есть \(\operatorname{li}(2) = 1{,}04516378011749\), что совпадает с опубликованным эталонным значением. Единственный положительный вещественный корень \(\operatorname{li}(x)\) находится в точке \(x = 1{,}45136923488\) (постоянная Рамануджана — Зольднера), где \(\operatorname{li}(x) = 0\).
Частые вопросы
Почему \(\operatorname{li}(x)\) уходит в бесконечность вблизи \(x = 1\)? Подынтегральное выражение \(1/\ln(t)\) имеет особенность в точке \(t = 1\), поэтому \(\operatorname{li}(1) = -\infty\), и вблизи этой точки функция меняется очень быстро.
Это \(\operatorname{li}(x)\) или \(\operatorname{Li}(x)\)? Здесь используется \(\operatorname{li}(x)\) без сдвига, с нижним пределом 0. В версии со сдвигом \(\operatorname{Li}(x)\) вычитается \(\operatorname{li}(2)\).
Что будет, если начало равно 0 или отрицательно? При \(x \le 0\) вещественный интегральный логарифм не определён, поэтому для таких строк калькулятор возвращает 0.
