Qu'est-ce que le logarithme intégral li(x) ?
Le logarithme intégral, noté \(\operatorname{li}(x)\), est une fonction spéciale définie par l'intégrale de \(1/\ln(t)\) de 0 à \(x\). Comme l'intégrande présente une singularité en \(t = 1\), pour \(x > 1\) l'intégrale est prise au sens de la valeur principale de Cauchy. Cette fonction occupe une place centrale en théorie analytique des nombres : le théorème des nombres premiers énonce que la fonction de comptage des nombres premiers \(\pi(x)\) est asymptotiquement équivalente à \(\operatorname{li}(x)\), qui constitue l'une des meilleures approximations simples du nombre de premiers inférieurs à \(x\). Ce calculateur utilise la définition sans décalage \(\operatorname{li}(x)\) (borne inférieure 0), et non la variante eulérienne \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez trois valeurs : la valeur initiale de \(x\), le pas (incrément) ajouté à chaque ligne et le nombre d'itérations (lignes). L'outil construit une table où la ligne \(i\) correspond à \(x = x_{\text{Départ}} + i \times \text{pas}\), accompagnée de la valeur de \(\operatorname{li}(x)\). Un graphique en courbe de \(\operatorname{li}(x)\) en fonction de \(x\) est également généré. Pour obtenir des résultats réels pertinents, choisissez une valeur de départ supérieure à 0 ; l'intervalle par défaut courant est \(x_{\text{Départ}} = 2\), pas \(= 0{,}2\) et 61 itérations, ce qui tabule \(x\) de 2,0 jusqu'à 14,0.
La formule expliquée
On évalue $$\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x),$$ où \(\operatorname{Ei}\) désigne l'exponentielle intégrale. \(\operatorname{Ei}(z)\) se calcule à l'aide de la série convergente $$\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!},$$ où \(\gamma = 0{,}5772156649\ldots\) est la constante d'Euler-Mascheroni. La série est accumulée jusqu'à ce que chaque terme devienne négligeable par rapport à la somme courante. Les cas limites suivent les conventions standard : \(x \le 0\) renvoie 0, et \(x = 1\) renvoie moins l'infini (la singularité).
Exemple détaillé
Pour \(x = 2\), on a \(z = \ln 2 = 0{,}6931472\). La somme \(\gamma + \ln|z| +\) la série donne \(\operatorname{Ei}(0{,}6931472) = 1{,}0451638\), d'où $$\operatorname{li}(2) = 1{,}04516378011749,$$ ce qui correspond à la valeur de référence publiée. L'unique racine réelle positive de \(\operatorname{li}(x)\) se situe en \(x = 1{,}45136923488\) (la constante de Ramanujan-Soldner), où \(\operatorname{li}(x) = 0\).
FAQ
Pourquoi li(x) diverge-t-il au voisinage de x = 1 ? L'intégrande \(1/\ln(t)\) est singulier en \(t = 1\), donc \(\operatorname{li}(1) = -\infty\) et la fonction varie très rapidement autour de ce point.
S'agit-il de li(x) ou de Li(x) ? Il s'agit de \(\operatorname{li}(x)\) sans décalage, avec borne inférieure 0. La version décalée \(\operatorname{Li}(x)\) retranche \(\operatorname{li}(2)\).
Et si ma valeur de départ est 0 ou négative ? Pour \(x \le 0\), le logarithme intégral réel n'est pas défini ; le calculateur renvoie donc 0 pour ces lignes.
