Ce que fait ce calculateur
Cet outil génère une table de haute précision du sinus intégral \(\operatorname{Si}(x)\) et du cosinus intégral \(\operatorname{Ci}(x)\) sur une suite d'arguments. Vous choisissez une valeur de départ, un pas (incrément) et le nombre de points à calculer : l'outil affiche alors \(\operatorname{Si}(x)\) et \(\operatorname{Ci}(x)\) pour chaque ligne. Il s'agit de fonctions spéciales classiques des mathématiques pures : elles s'appliquent à l'identique partout et ne dépendent d'aucune règle locale. L'argument \(x\) est un nombre réel sans dimension, interprété en radians par le sinus et le cosinus à l'intérieur des intégrales.
Les formules expliquées
Le sinus intégral est défini par \(\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\,dt\). Comme \(\sin(t)/t\) présente une singularité éliminable en \(t = 0\) (sa limite y vaut 1), on a \(\operatorname{Si}(0) = 0\), et \(\operatorname{Si}\) est une fonction entière impaire : \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\), avec \(\operatorname{Si}(\infty) = \pi/2\). Le cosinus intégral vaut \(\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cos t - 1}{t}\,dt\), où \(\gamma \approx 0{,}5772156649\) est la constante d'Euler–Mascheroni. \(\operatorname{Ci}(x)\) n'est réel que pour \(x > 0\) ; pour \(x \le 0\), il est signalé comme non défini (affiché par un tiret). Les formules de séries que nous utilisons sont :
$$\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}, \qquad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)\,(2n)!}$$Nous évaluons les deux fonctions à l'aide de leurs séries entières convergentes, en sommant les termes jusqu'à ce qu'ils passent sous la précision machine.
Comment l'utiliser
Saisissez la valeur initiale de \(x\), l'incrément et le nombre d'itérations. Les lignes de la table correspondent à :
$$x_i = \text{début} + i \cdot \text{pas}, \quad i = 0, 1, \dots, \text{nombre}-1$$Par exemple, un départ à 0, un pas de 0,2 et 51 points couvrent \(x\) de 0 à 10.
Exemple détaillé
Avec début = 0, pas = 0,2 et nombre = 6, les arguments sont 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 et 1,0. Les séries donnent :
$$\operatorname{Si}(1{,}0) = 1 - \tfrac{1}{18} + \tfrac{1}{600} - \dots \approx 0{,}9460831$$$$\operatorname{Ci}(1{,}0) = \gamma + 0 + (-0{,}25 + 0{,}0104167 - \dots) \approx 0{,}3374039$$La première ligne affiche \(\operatorname{Si}(0) = 0\), tandis que \(\operatorname{Ci}(0)\) est non défini (un tiret), car \(\operatorname{Ci}\) diverge vers \(-\infty\) lorsque \(x \to 0^+\).
FAQ
Pourquoi Ci est-il vide pour \(x = 0\) ou \(x\) négatif ? \(\operatorname{Ci}(x)\) contient \(\ln(x)\), qui n'est pas réel pour \(x \le 0\), et \(\operatorname{Ci}(x) \to -\infty\) lorsque \(x \to 0^+\) ; ces lignes sont donc marquées comme non définies.
Si est-il défini pour \(x\) négatif ? Oui : \(\operatorname{Si}\) est défini pour tout réel \(x\) et il est impair, donc \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\).
Quelle est la valeur limite de Si ? Lorsque \(x \to \infty\), \(\operatorname{Si}(x) \to \pi/2 \approx 1{,}5707963\).
