यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल आर्ग्युमेंट के एक क्रम पर साइन इंटीग्रल \(\operatorname{Si}(x)\) और कोसाइन इंटीग्रल \(\operatorname{Ci}(x)\) की उच्च-परिशुद्धता वाली टेबल तैयार करता है। आप एक प्रारंभिक मान, एक स्टेप (वृद्धि), और कितने बिंदुओं की गणना करनी है — यह तय करते हैं, और टूल हर पंक्ति के लिए \(\operatorname{Si}(x)\) तथा \(\operatorname{Ci}(x)\) सूचीबद्ध कर देता है। ये शुद्ध गणित के मानक स्पेशल फंक्शन हैं — ये हर जगह बिल्कुल एक समान लागू होते हैं और इनमें किसी देश या क्षेत्र विशेष के नियम शामिल नहीं होते। आर्ग्युमेंट \(x\) एक विमारहित (dimensionless) वास्तविक संख्या है, जिसे इंटीग्रल के भीतर साइन और कोसाइन रेडियन में लेते हैं।
फॉर्मूले की व्याख्या
साइन इंटीग्रल इस प्रकार परिभाषित है: \(\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\, dt\)। चूँकि \(\frac{\sin t}{t}\) में \(t = 0\) पर एक हटाने योग्य विशिष्टता (removable singularity) है (वहाँ इसकी सीमा 1 है), इसलिए \(\operatorname{Si}(0) = 0\) होता है, और \(\operatorname{Si}\) एक विषम (odd) समस्त फंक्शन है: \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\), तथा \(\operatorname{Si}(\infty) = \frac{\pi}{2}\)। कोसाइन इंटीग्रल है \(\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cos t - 1}{t}\, dt\), जहाँ \(\gamma \approx 0.5772156649\) ऑयलर–माश्चेरोनी स्थिरांक है। \(\operatorname{Ci}(x)\) केवल \(x > 0\) के लिए वास्तविक होता है; \(x \le 0\) के लिए इसे अपरिभाषित बताया जाता है (एक डैश के रूप में दिखाया जाता है)। हम दोनों का मूल्यांकन उनकी अभिसरणशील घात श्रेणी (power series) से करते हैं:
$$\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}, \qquad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)\,(2n)!}$$और तब तक पद जोड़ते हैं जब तक अतिरिक्त पद मशीन परिशुद्धता से नीचे न चले जाएँ।
इसका उपयोग कैसे करें
x का प्रारंभिक मान, वृद्धि (increment), और पुनरावृत्तियों (iterations) की संख्या दर्ज करें। टेबल की पंक्तियाँ \(x_i = \text{start} + i \cdot \text{step}\) होती हैं, जहाँ \(i = 0, 1, \ldots, \text{count}-1\)। उदाहरण के लिए, start 0, step 0.2, count 51 लेने पर \(x\) का दायरा 0 से 10 तक फैल जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
start = 0, step = 0.2, count = 6 के साथ आर्ग्युमेंट होंगे 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0। श्रेणी से हमें मिलता है $$\operatorname{Si}(1.0) = 1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \cdots \approx 0.9460831$$ और $$\operatorname{Ci}(1.0) = \gamma + 0 + (-0.25 + 0.0104167 - \cdots) \approx 0.3374039$$ पहली पंक्ति में \(\operatorname{Si}(0) = 0\) दिखता है, जबकि \(\operatorname{Ci}(0)\) अपरिभाषित है (एक डैश), क्योंकि जैसे-जैसे \(x \to 0^+\) होता है, \(\operatorname{Ci}\) का मान \(-\infty\) की ओर अपसरित (diverge) हो जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
x = 0 या ऋणात्मक x के लिए Ci खाली क्यों रहता है? \(\operatorname{Ci}(x)\) में \(\ln(x)\) होता है, जो \(x \le 0\) के लिए वास्तविक नहीं होता, और जैसे \(x \to 0^+\) होता है \(\operatorname{Ci}(x) \to -\infty\) हो जाता है, इसलिए हम उन पंक्तियों को अपरिभाषित चिह्नित कर देते हैं।
क्या Si ऋणात्मक x के लिए परिभाषित है? हाँ — \(\operatorname{Si}\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और विषम (odd) है, इसलिए \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)।
Si का सीमांत मान (limiting value) क्या है? जैसे-जैसे \(x \to \infty\) होता है, \(\operatorname{Si}(x) \to \frac{\pi}{2} \approx 1.5707963\) हो जाता है।
