पहले प्रकार का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल क्या है?

पहले प्रकार का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल, जिसे $K(k)$ लिखा जाता है, एक शास्त्रीय विशेष फलन है। इसकी परिभाषा 0 से $\pi/2$ तक $d\theta / \sqrt{1 - k^{2}\cdot\sin^{2}\theta}$ के समाकल के रूप में दी जाती है। यह तब-तब सामने आता है जब आपको किसी लोलक का सटीक (बड़े आयाम वाला) आवर्तकाल चाहिए हो, न्यूमैन के सूत्र से समाक्षीय कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरकत्व निकालना हो, चाप-लंबाई ज्ञात करनी हो, या दीर्घवृत्तीय दरारों के आसपास का प्रतिबल क्षेत्र समझना हो। यह कैलकुलेटर दिए गए दीर्घवृत्तीय मापांक $k$ के लिए $K(k)$ का वास्तविक मान लौटाता है।

चौथाई वृत्त जो समाकलन अंतराल में फैले कोण theta को दर्शाता है — K(k) कोण theta पर 0 से pi/2 तक समाकलन करता है।

परिपाटी: मापांक k, न कि प्राचल m

दो प्रचलित परिपाटियाँ हैं। यह टूल सीधे मापांक $k$ का उपयोग करता है, इसलिए यहाँ प्राचल $m = k^{2}$ होता है। इसका मतलब यह है कि इस साइट का $K(k)$ MATLAB के ellipke(m) के बराबर है जहाँ $m = k^{2}$। उदाहरण के लिए, MATLAB का ellipke(0.5) यहाँ $k = \sqrt{0.5} \approx 0.7071$ दर्ज करने के अनुरूप है। संख्याओं की तुलना करने से पहले हमेशा यह पक्का कर लें कि आपका संदर्भ कौन-सी परिपाटी अपनाता है।

इसका उपयोग कैसे करें

$-1 \le k \le 1$ की सीमा में दीर्घवृत्तीय मापांक $k$ दर्ज करें और $K(k)$ का मान पढ़ें। चूँकि $K$, $k$ में सम फलन है, इसलिए चिह्न से कोई फ़र्क नहीं पड़ता ($K(-k) = K(k)$); टूल भीतर ही निरपेक्ष मान ले लेता है। यह फलन $|k| < 1$ के लिए परिमित रहता है और जैसे-जैसे $|k|$ 1 के निकट आता है, यह लघुगणकीय रूप से अनंत की ओर बढ़ता है।

सूत्र और विधि

हम समांतर-गुणोत्तर माध्य (AGM) का प्रयोग करते हैं: $$K(k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^{2}\,\sin^{2}\theta}} = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}\!\left(1,\;\sqrt{1 - k^{2}}\right)}$$ $a = 1$ और $b = \sqrt{1 - k^{2}}$ (पूरक मापांक) से शुरू करके, इन्हें बार-बार इनके समांतर और गुणोत्तर माध्य से बदलते जाएँ जब तक ये एक-दूसरे के बराबर न हो जाएँ। AGM द्विघातीय रूप से अभिसरित होता है, इसलिए लगभग एक दर्जन पुनरावृत्तियों में ही पूरी डबल-परिशुद्धता मिल जाती है।

समांतर और गुणोत्तर माध्यों के द्वारा एक उभयनिष्ठ सीमा पर अभिसरित होती दो श्रेणियाँ — AGM पुनरावृत्ति तेजी से एक उभयनिष्ठ मान पर अभिसरित होती है जिसका उपयोग K(k) निकालने में होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

$k = 0.1$ के लिए: $m = 0.01$, और पूरक मापांक $\sqrt{0.99} \approx 0.994987$ है। 1 और 0.994987 का AGM लगभग 0.9974921 पर अभिसरित होता है। तब $$K(0.1) = \frac{\pi}{2 \times 0.9974921} \approx 1.5747456$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

$K(0)$ क्या होता है? ठीक $\pi/2 \approx 1.5707963$, क्योंकि समाकल्य घटकर 1 रह जाता है।

$k = 1$ पर यह अनंत क्यों हो जाता है? पूरक मापांक 0 हो जाता है, $\mathrm{AGM}(1,0) = 0$ बन जाता है, और $K(k)$ में एक लघुगणकीय विचित्रता आ जाती है, इसलिए $K \rightarrow +\infty$।

क्या मैं $|k| > 1$ दर्ज कर सकता हूँ? नहीं। $-1 \le k \le 1$ के बाहर वास्तविक समाकल अपरिभाषित होता है; इसके लिए व्युत्क्रम-मापांक रूपांतरण आवश्यक है, इसलिए टूल ऐसे इनपुट को अस्वीकार कर देता है।

पहले प्रकार का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल K(k) कैलकुलेटर

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