तीसरी श्रेणी का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल Pi(n,k) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

n (अभिलक्षण)

k (मापांक)

Convention: integrand contains k²·sin²θ (modulus k) and the factor 1 − n·sin²θ. Requires |k| < 1 and n < 1 for a finite ordinary value.

परिणाम

Π(n, k)

2.8771910188

विमाहीन

समाकल्य	1 / [ (1 − n·sin²θ) · √(1 − k²·sin²θ) ]
परिपाटी	modulus k (k²), characteristic factor 1 − n·sin²θ
विधि	संयुक्त सिम्पसन, 200000 पट्टियाँ

तीसरी श्रेणी का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल क्या है?

तीसरी श्रेणी का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल, जिसे \(\Pi(n,k)\) लिखा जाता है, एक विशेष फलन है जो शास्त्रीय यांत्रिकी (जैसे अवमंदन-सरीखे पदों वाले लोलक का आवर्तकाल), विद्युत-चुंबकत्व और ज्यामिति में सामने आता है। इसकी परिभाषा है — 1 को \((1 - n\sin^{2}\theta)\) तथा \((1 - k^{2}\sin^{2}\theta)\) के वर्गमूल के गुणनफल से भाग देने पर प्राप्त राशि का \(\theta = 0\) से \(\pi/2\) तक का समाकल। $$\Pi(n,k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\left(1 - \text{n}\,\sin^{2}\theta\right)\sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}}$$ यह कैलकुलेटर इसका संख्यात्मक मान निकालता है और यह विशुद्ध गणितीय उपकरण है, जो हर जगह समान रूप से मान्य है।

पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल कोण थीटा पर 0 से π/2 तक समाकलित करता है।

यहाँ अपनाई गई परिपाटी

पाठ्यपुस्तकों में परिपाटियाँ अलग-अलग होती हैं, इसलिए इसे ध्यान से पढ़ें। हम मापांक k वाली परिपाटी अपनाते हैं: वर्गमूल के अंदर \(k^{2}\sin^{2}\theta\) होता है। कुछ संदर्भ इसके बदले पैरामीटर m का प्रयोग करते हैं, जहाँ \(m = k^{2}\) होता है। हम गुणक \((1 - n\sin^{2}\theta)\) में अभिलक्षण n का प्रयोग करते हैं और n का वर्ग नहीं लेते। कुछ ग्रंथ यह गुणक \((1 + n\sin^{2}\theta)\) के रूप में लिखते हैं; उनसे मिलान करने के लिए n का चिह्न उलट दें। चूँकि k केवल वर्ग के रूप में आता है, इसलिए k का चिह्न परिणाम नहीं बदलता।

विज्ञापन

यह टूल मापांक k परिपाटी (m = k²) का उपयोग करता है, जो पैरामीटर परिपाटी से भिन्न है।

इसका उपयोग कैसे करें

अभिलक्षण n और मापांक k दर्ज करें। किसी सामान्य परिमित मान के लिए \(|k| < 1\) और \(n < 1\) रखें। यह उपकरण संयुक्त सिम्पसन नियम (composite Simpson's rule) से 200,000 पट्टियों (panels) के साथ समाकलन करता है, जिससे सुव्यवस्थित इनपुट के लिए लगभग दस या उससे अधिक सार्थक अंकों की परिशुद्धता मिलती है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें \(n = 0.7\) और \(k = 0.1\)। एक त्वरित अनुमान है $$\Pi(n,0) = \frac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}} = \frac{1.5707963}{\sqrt{0.3}} = 2.86790$$ छोटे \(k = 0.1\) का संशोधन जोड़ने पर यह थोड़ा बढ़ जाता है, और पूर्ण संख्यात्मक समाकलन से \(\Pi(0.7, 0.1) \approx 2.87224\) प्राप्त होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि n = 0 हो तो क्या होगा? तब \(\Pi(0,k)\) का मान \(K(k)\) के बराबर हो जाता है, जो पहली श्रेणी का पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल है।

यदि k = 0 हो तो क्या होगा? समाकल्य (integrand) सरल हो जाता है और \(n < 1\) के लिए \(\Pi(n,0) = \dfrac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}}\) हो जाता है।

n = 1 की अनुमति क्यों नहीं है? तब गुणक \(\cos^{2}\theta\) बन जाता है, जिससे \(\theta = \pi/2\) पर एक असमाकलनीय विचित्रता (non-integrable singularity) उत्पन्न होती है और समाकल अपसारी हो जाता है। \(n > 1\) वाले मानों के लिए कॉशी मुख्य मान (Cauchy principal value) की आवश्यकता होती है, जिसकी गणना यह बुनियादी कैलकुलेटर नहीं करता।