حاسبة التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث Pi(n,k)

أدخل الحساب

n (الخاصية)

k (المعامل)

Convention: integrand contains k²·sin²θ (modulus k) and the factor 1 − n·sin²θ. Requires |k| < 1 and n < 1 for a finite ordinary value.

نتائج

Π(n, k)

٢٫٨٧٧١٩١٠١٨٨

بلا أبعاد

الدالة المُكامَلة	1 / [ (1 − n·sin²θ) · √(1 − k²·sin²θ) ]
الاصطلاح	modulus k (k²), characteristic factor 1 − n·sin²θ
الطريقة	سيمبسون المركّبة، 200000 شريحة

ما هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث؟

التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث، ويُرمز له بـ \(\Pi(n,k)\)، هو دالة خاصة تظهر في الميكانيكا الكلاسيكية (مثل حساب دور البندول مع وجود حدود شبيهة بالتخميد)، وفي الكهرومغناطيسية والهندسة. يُعرَّف بأنه تكامل المقدار 1 مقسوماً على (1 − n جا² θ) مضروباً في الجذر التربيعي لـ (1 − k² جا² θ)، محسوباً من θ = 0 إلى θ = π/2:

$$\Pi(n,k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\left(1 - \text{n}\,\sin^{2}\theta\right)\sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}}$$

تقوم هذه الحاسبة بتقييمه عددياً، وهي أداة رياضية بحتة تعطي النتيجة ذاتها في أي مكان في العالم.

التكامل الإهليلجي الكامل يكامل على الزاوية ثيتا من 0 إلى π/2.

الاصطلاح المعتمد هنا

تختلف الاصطلاحات من كتاب إلى آخر، لذا اقرأ هذه الفقرة بعناية. نحن نعتمد اصطلاح المعامل k: أي أن الجذر يحتوي على \(k^{2}\,\text{جا}^{2}\,\theta\). بعض المراجع تستخدم بدلاً من ذلك الوسيط m، حيث \(m = k^{2}\). كما نستخدم الخاصية n في العامل \((1 - n\,\text{جا}^{2}\,\theta)\) دون تربيع n. وهناك مراجع قليلة تكتب هذا العامل بالصيغة \((1 + n\,\text{جا}^{2}\,\theta)\)؛ ولمطابقتها، اعكس إشارة n. وبما أن k يظهر مربعاً فقط، فإن إشارة k لا تؤثر في النتيجة.

اعلان

تستخدم هذه الأداة اصطلاح المعامل k (m = k²)، وهو يختلف عن اصطلاح البارامتر.

طريقة الاستخدام

أدخل قيمة الخاصية n ومعامل k. للحصول على قيمة منتهية اعتيادية، احرص على أن يكون \(|k| < 1\) و \(n < 1\). تُجري الأداة التكامل باستخدام قاعدة سيمبسون المركّبة بعدد 200,000 شريحة، مما يمنح نحو عشرة أرقام معنوية أو أكثر للمدخلات المنضبطة.

مثال محلول

لنأخذ \(n = 0.7\) و \(k = 0.1\). يمكن تقدير القيمة بسرعة عبر \(\Pi(n,0) = (\pi/2)/\sqrt{1 - n} = 1.5707963/\sqrt{0.3} = 2.86790\). وبإضافة التصحيح الصغير الناتج عن \(k = 0.1\) ترتفع القيمة قليلاً، ويعطي التكامل العددي الكامل النتيجة \(\Pi(0.7, 0.1) \approx 2.87224\).

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث عند n = 0؟ عندئذٍ تساوي \(\Pi(0,k)\) قيمة \(K(k)\)، وهو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول.

ماذا يحدث عند k = 0؟ تتبسط الدالة المُكامَلة فتصبح \(\Pi(n,0) = (\pi/2)/\sqrt{1 - n}\) من أجل \(n < 1\).

لماذا لا يُسمح بـ n = 1؟ لأن العامل يصبح جا² θ المكافئ لـ جتا² θ، مما يُنتج شذوذاً غير قابل للتكامل عند θ = π/2، وبالتالي يتباعد التكامل. أما القيم \(n > 1\) فتتطلب القيمة الرئيسية لكوشي، وهي ما لا تحسبه هذه الأداة الأساسية.