ما هو تكامل جيب التمام Ci(x)؟
تكامل جيب التمام، ويُرمز له بـ \(\operatorname{Ci}(x)\)، هو دالة خاصة تظهر بكثرة في الفيزياء ومعالجة الإشارات والكهرومغناطيسية، وبخاصة في نظرية الهوائيات وتحليل التكاملات التذبذبية. يُعرَّف لوسيط حقيقي موجب \(x\) بأنه تكامل المقدار \((\cos t - 1)/t\) من 0 إلى \(x\)، مضافًا إليه اللوغاريتم الطبيعي لـ \(x\) وثابت أويلر-ماسكيروني غاما (الذي يساوي تقريبًا 0.5772156649). تحسب هذه الأداة قيمة \(\operatorname{Ci}(x)\) بدقة مزدوجة كاملة لأي مدخل حقيقي.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة \(x\) في حقل الإدخال ثم اضغط على زر الحساب. النتيجة هي قيمة \(\operatorname{Ci}(x)\) عديمة الأبعاد. مجال التعريف للصيغة الحقيقية الأساسية هو \(x\) أكبر من 0. عند \(x = 0\) تتباعد الدالة نحو سالب ما لا نهاية (تفرّد لوغاريتمي)، لذلك تُظهرها الحاسبة على أنها غير معرَّفة. أما القيم السالبة، فتُرجِع الحاسبة \(\operatorname{Ci}(|x|)\)، لأن الجزء الحقيقي من \(\operatorname{Ci}(-x)\) يساوي \(\operatorname{Ci}(x)\)؛ ويُهمَل الجزء التخيلي البالغ \(\pm i\cdot\pi\).
شرح الصيغة الرياضية
العلاقة المعرِّفة هي $$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_{0}^{x} \frac{\cos t - 1}{t}\, dt$$ وبنشر المقدار داخل التكامل كمتسلسلة تايلور ثم المكاملة حدًّا حدًّا، نحصل على المتسلسلة المتقاربة: $$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) - \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} - \frac{x^6}{6\cdot 6!} + \cdots$$ بالنسبة للقيم الصغيرة والمتوسطة لـ \(x\) (هنا \(|x|\) حتى 6) تتقارب هذه المتسلسلة بسرعة ودقة. أما للقيم الأكبر، فتنتقل الحاسبة إلى التمثيل المقارب \(\operatorname{Ci}(x) = f(x)\cdot\sin(x) - g(x)\cdot\cos(x)\)، وهو ما يتجنب الإلغاء الكارثي الذي يصيب المتسلسلة عند الوسائط الكبيرة. ومع تزايد \(x\)، تتلاشى \(\operatorname{Ci}(x)\) نحو الصفر مع تذبذب يشبه \(\sin(x)/x\).
مثال محلول
عند \(x = 1\): نجد أن \(\ln(1) = 0\)، وتعطي المتسلسلة \(-0.25 + 0.0104166667 - 0.0002314815 + 0.0000031002 - \cdots\) ما يقارب \(-0.2398117421\). وبإضافة \(\gamma = 0.5772156649\) نحصل على \(\operatorname{Ci}(1) = 0.3374039229\)، وهي قيمة تطابق القيمة المرجعية المعروفة لتكامل جيب التمام عند 1.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون Ci(0) غير معرَّفة؟ لأن \(\ln(x)\) تؤول إلى سالب ما لا نهاية عندما تقترب \(x\) من الصفر، فإن للدالة تفرّدًا لوغاريتميًا عند تلك النقطة.
ماذا عن القيم السالبة لـ x؟ تكون \(\operatorname{Ci}\) دالة عقدية عند الوسائط السالبة. هذه الحاسبة الحقيقية تُرجِع \(\operatorname{Ci}(|x|)\)، أي الجزء الحقيقي، وتُسقِط الحد التخيلي.
ما مدى دقة النتائج؟ النتائج دقيقة إلى ما يقارب دقة الآلة المزدوجة (نحو 15 رقمًا معنويًا) عبر نطاق المدخلات المعتاد.
