ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
المتتالية الهندسية هي مجموع حدود يُحصَل على كل حد فيها بضرب الحد السابق له في عدد ثابت يُسمى الأساس (النسبة المشتركة). وتأخذ المتتالية الشكل: \(a\)، \(ar\)، \(ar^2\)، \(ar^3\)، …، \(ar^{n-1}\). تقوم هذه الحاسبة بإيجاد أمرين في آنٍ واحد: الحد النوني للمتتالية، ومجموع أول \(n\) حدًا منها (المجموع الجزئي)، انطلاقًا من الحد الأول \(a\) والأساس \(r\) وعدد الحدود \(n\).
طريقة الاستخدام
أدخِل الحد الأول a (أي عدد حقيقي: موجب أو سالب أو كسري)، والأساس r، وعدد الحدود n (عدد صحيح موجب). ويمكنك اختياريًا تحديد دقة العرض للتحكم في عدد الأرقام المعنوية الظاهرة — وهذا يؤثر في طريقة العرض فقط ولا يغيّر نتيجة الحساب. اضغط على زر الحساب لترى كلًّا من الحد النوني \(a_n\) والمجموع \(S_n\).
شرح القانون
الحد النوني يُعطى بالعلاقة $$a_n = \text{a} \cdot \text{r}^{\,\text{n} - 1}$$ أما المجموع، فعندما لا يساوي الأساس \(r\) العددَ 1 نستخدم الصيغة المغلقة $$S_n = \text{a} \cdot \frac{1 - \text{r}^{\,\text{n}}}{1 - \text{r}}$$ وعندما يساوي \(r\) العددَ 1 تتساوى جميع الحدود، فيصبح المقام \((1 - r)\) صفرًا؛ وفي هذه الحالة الخاصة يكون المجموع ببساطة $$S_n = \text{n} \cdot \text{a}$$ وتتعامل الحاسبة مع هذه الحالة تلقائيًا لتفادي القسمة على صفر.
مثال محلول
إذا كان \(a = 1\) وr \(= 2\) وn \(= 10\): فإن الحد العاشر هو $$a_n = 1 \cdot 2^9 = 512$$ والمجموع هو $$S_n = 1 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1 - 1024}{-1} = 1023$$
الأسئلة الشائعة
هل تحسب هذه الأداة المجموع اللانهائي؟ لا. فهي تحسب دائمًا المجموع الجزئي المنتهي لعدد \(n\) من الحدود بالضبط. وعندما يكون \(|r| < 1\) يقترب المجموع الجزئي من القيمة \(a/(1-r)\) كلما كبر \(n\)، لكن هذه الأداة لا تفترض أبدًا وجود عدد لانهائي من الحدود.
هل يمكن أن يكون الأساس سالبًا؟ نعم. فالأساس السالب يجعل إشارات الحدود تتناوب بين الموجب والسالب، ويبقى القانون صحيحًا.
ماذا لو كان r = 0؟ عندئذٍ يساهم الحد الأول بقيمة \(a\) وتكون جميع الحدود التالية أصفارًا، فيكون \(S_n = a\)، أما الحد النوني \(a_n\) فيساوي \(a\) فقط عندما يكون \(n = 1\) (وما عدا ذلك يساوي 0).
