ما هي المتتالية الحسابية؟
المتتالية الحسابية هي سلسلة من الأعداد يختلف فيها كل حد عن الحد الذي يسبقه بمقدار ثابت يُسمى الأساس أو فرق المتتالية (\(d\)). فإذا بدأنا بالحد الأول \(a_1\)، تأتي المتتالية على الشكل: \(a_1\) ثم \(a_1+d\) ثم \(a_1+2d\) وهكذا. أما المتسلسلة الحسابية المقابلة فهي ببساطة مجموع هذه الحدود. تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد الحد النوني ومجموع الحدود لأي متتالية حسابية في خطوة واحدة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الحد الأول (\(a_1\))، والأساس (\(d\))، وعدد الحدود الذي ترغب به (\(n\)). تعرض لك الأداة قيمة الحد النوني (\(a_n\)) والمجموع الكلي \(S_n\) لهذه الحدود الـ \(n\). ولاحظ أن الأساس يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا، كما أن الحد الأول قد يكون أي عدد حقيقي.
شرح القوانين
نحصل على الحد النوني بإضافة الأساس \((n-1)\) مرة إلى الحد الأول، وفق القانون: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ أما المجموع فيعتمد على الحيلة الأنيقة المنسوبة إلى عالم الرياضيات غاوس — وهي تجميع الحد الأول مع الأخير، ثم الثاني مع ما قبل الأخير، وهكذا. مجموع كل زوج يساوي \((a_1 + a_n)\)، وعدد هذه الأزواج هو \(n/2\)، ومن ثم نصل إلى: $$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
مثال محلول
لنفترض أن \(a_1 = 3\)، و\(d = 5\)، و\(n = 10\). يكون الحد العاشر: $$a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 5 = 3 + 45 = 48$$ ومجموع الحدود العشرة الأولى هو: $$S_{10} = \frac{10}{2}\cdot (3 + 48) = 5 \cdot 51 = 255$$ وبذلك فإن مجموع المتسلسلة 3، 8، 13، … ، 48 يساوي 255.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كان الأساس يساوي صفرًا؟ عندها تتساوى جميع الحدود مع الحد الأول، فيكون \(a_n = a_1\) ويصبح المجموع ببساطة \(n \times a_1\).
هل يمكن أن تكون الحدود سالبة أو عشرية؟ نعم. أي قيم حقيقية تصلح لكل من \(a_1\) و\(d\)، وتبقى القوانين صحيحة تمامًا.
ما الفرق بين المتتالية والمتسلسلة؟ المتتالية هي القائمة المرتبة من الحدود، أما المتسلسلة فهي مجموع تلك الحدود.
