¿Qué es una progresión aritmética?
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija llamada diferencia común (\(d\)). Partiendo de un primer término \(a_1\), la sucesión se escribe \(a_1, a_1+d, a_1+2d\), y así sucesivamente. La serie aritmética asociada no es más que la suma de esos términos. Esta calculadora obtiene tanto el término n-ésimo como la suma acumulada de cualquier progresión aritmética.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el primer término (\(a_1\)), la diferencia común (\(d\)) y cuántos términos quieres calcular (\(n\)). La herramienta devuelve el valor del término n-ésimo (\(a_n\)) y la suma total \(S_n\) de esos \(n\) términos. La diferencia común puede ser positiva, negativa o cero, y el primer término puede ser cualquier número real.
Las fórmulas explicadas
El término n-ésimo se calcula sumando la diferencia común (\(n-1\)) veces al primer término: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ Para la suma se aplica el ingenioso truco de emparejamiento atribuido a Gauss: se empareja el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente. Cada pareja suma \((a_1 + a_n)\), y hay \(n/2\) parejas, de donde resulta $$S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(a_1 = 3\), \(d = 5\) y \(n = 10\). El décimo término es $$a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 5 = 3 + 45 = 48$$ La suma de los primeros 10 términos es $$S_{10} = \frac{10}{2}\cdot(3 + 48) = 5 \cdot 51 = 255$$ Por tanto, la serie \(3, 8, 13, \ldots, 48\) suma 255.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si la diferencia común es 0? Todos los términos son iguales a \(a_1\), de modo que \(a_n = a_1\) y la suma es simplemente \(n \times a_1\).
¿Pueden los términos ser negativos o decimales? Sí. \(a_1\) y \(d\) admiten cualquier valor real; las fórmulas siguen siendo exactas.
¿Cuál es la diferencia entre una sucesión y una serie? Una sucesión (o progresión) es la lista ordenada de términos; una serie es la suma de esos términos.
