¿Qué es la calculadora de probabilidad de la distribución normal?
Esta calculadora determina la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal quede por debajo o por encima de un valor concreto. A partir de un valor x, una media μ y una desviación estándar σ, devuelve la probabilidad acumulada \(P(X < x)\) y la probabilidad de la cola superior \(P(X > x)\), junto con la puntuación z correspondiente. La distribución normal (o gaussiana) es la base de innumerables pruebas estadísticas, gráficos de control de calidad y modelos de riesgo.
Cómo usarla
Introduce el valor que te interesa (x), la media de la distribución (μ) y su desviación estándar (σ, que debe ser positiva). La herramienta tipifica tu valor en una puntuación z y, a continuación, evalúa la función de distribución acumulada (CDF) normal estándar para expresar el resultado como un porcentaje.
La fórmula al detalle
Primero se convierte el valor en una puntuación z: \(z = (x - \mu) / \sigma\). La puntuación z indica a cuántas desviaciones estándar se encuentra x respecto de la media.
$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$
La probabilidad por debajo de x es entonces la CDF normal estándar \(\Phi(z) = \tfrac{1}{2}[1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2})]\).
$$P(X
Como la función de error erf no tiene una forma cerrada, esta calculadora emplea la conocida aproximación polinómica 7.1.26 de Abramowitz y Stegun, con una precisión de aproximadamente \(1\times10^{-7}\).
Ejemplo resuelto
Imagina que las puntuaciones de un test siguen una distribución normal con \(\mu = 100\) y \(\sigma = 15\), y quieres calcular \(P(\text{puntuación} < 130)\). La puntuación z es:
$$z=\frac{130-100}{15}=2$$
La CDF normal estándar en \(z = 2\) vale alrededor de \(0{,}97725\), así que cerca del 97,72 % de las puntuaciones están por debajo de 130 y aproximadamente un 2,28 % lo superan.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa la puntuación z? Es el número de desviaciones estándar a las que un valor se sitúa de la media; positiva si está por encima y negativa si está por debajo.
¿Cómo obtengo la probabilidad entre dos valores? Calcula \(P(X < b) - P(X < a)\) ejecutando la calculadora dos veces.
¿Qué precisión tiene el resultado? La aproximación de erf es precisa hasta unos 7 decimales, más que suficiente para el trabajo estadístico habitual.
