Qué hace esta calculadora
La Calculadora de distribución normal evalúa una variable con distribución normal en un punto x concreto, a partir de una media (μ) y una desviación típica (σ). Devuelve tres magnitudes fundamentales: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior \(P(X > x)\). Es una herramienta matemática y estadística universal, sin supuestos ligados a ningún país. Con los valores por defecto \(\mu = 0\) y \(\sigma = 1\) trabaja sobre la distribución normal estándar.
Cómo usarla
Introduce el valor x en el que quieres evaluar la distribución, la media \(\mu\) y la desviación típica \(\sigma\) (que debe ser mayor que 0). La calculadora primero tipifica el valor mediante \(z = (x - \mu) / \sigma\) y, a continuación, calcula la densidad y ambas colas acumuladas. La probabilidad acumulada inferior es el área bajo la curva a la izquierda de x; la probabilidad acumulada superior es el área a la derecha, y ambas siempre suman 1.
La fórmula explicada
La densidad de probabilidad es $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ La probabilidad acumulada inferior es la función de distribución acumulada $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ donde \(\operatorname{erf}\) es la función error de Gauss. Como la biblioteca matemática estándar no incluye \(\operatorname{erf}\), esta herramienta emplea la aproximación racional 7.1.26 de Abramowitz y Stegun, con una precisión de aproximadamente \(10^{-7}\). La probabilidad acumulada superior es simplemente \(1 - \Phi(z)\).
Ejemplo resuelto
Tomemos una distribución de tipo CI con \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\), y evaluemos en \(x = 130\). Primero $$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$$ La densidad es $$f(130) = \frac{0{,}3989422804}{15} \cdot e^{-2} = 0{,}003599750$$ La probabilidad acumulada inferior \(\Phi(2) = 0{,}9772498681\), por lo que la probabilidad acumulada superior es \(0{,}0227501319\), es decir, que aproximadamente el 2,28 % de los valores supera 130.
Preguntas frecuentes
¿Qué es z? z es la puntuación tipificada, el número de desviaciones típicas que x se sitúa por encima (positivo) o por debajo (negativo) de la media.
¿Por qué σ debe ser positiva? Una desviación típica igual o menor que cero deja la distribución sin definir y provoca una división por cero, así que \(\sigma\) debe ser mayor que 0.
¿Suman 1 f(x) y las probabilidades? Las dos probabilidades acumuladas \(P(X \le x)\) y \(P(X > x)\) suman 1. La densidad \(f(x)\) no es una probabilidad y no forma parte de esa suma; es la altura de la curva en x.
