이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
정규분포 계산기는 평균(μ)과 표준편차(σ)가 주어진 정규분포에서 원하는 지점 x의 값을 계산해 줍니다. 핵심 결과는 세 가지입니다. 바로 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P(X \le x)\), 그리고 상측 누적확률 \(P(X > x)\)입니다. 특정 국가의 제도나 규정에 의존하지 않는 보편적인 수학·통계 도구이므로 어디서든 동일하게 활용할 수 있습니다. 기본값인 \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)을 그대로 사용하면 표준정규분포에 대한 계산이 됩니다.
사용 방법
분포를 평가하려는 지점 \(x\), 평균 \(\mu\), 그리고 0보다 큰 표준편차 \(\sigma\)를 입력하세요. 계산기는 먼저 $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ 공식으로 값을 표준화한 뒤, 확률밀도와 양쪽 꼬리의 누적확률을 구합니다. 하측 누적확률은 x를 기준으로 곡선 왼쪽의 넓이이고, 상측 누적확률은 오른쪽의 넓이입니다. 이 두 값을 더하면 항상 1이 됩니다.
공식 풀이
확률밀도는 $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$로 정의됩니다. 하측 누적확률은 누적분포함수 $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$로 계산하며, 여기서 erf는 가우스 오차함수입니다. 일반적인 수학 라이브러리에는 erf 함수가 내장되어 있지 않기 때문에, 이 계산기는 오차가 약 1e-7 수준인 Abramowitz & Stegun 7.1.26 유리식 근사를 사용합니다. 상측 누적확률은 간단히 \(1 - \Phi(z)\)로 구합니다.
계산 예시
IQ 점수처럼 \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\)인 분포에서 \(x = 130\)인 지점을 살펴봅시다. 먼저 $$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$$입니다. 확률밀도는 $$f(130) = \frac{0.3989422804}{15} \times e^{-2} = 0.003599750$$입니다. 하측 누적확률 \(\Phi(2) = 0.9772498681\)이므로, 상측 누적확률은 \(0.0227501319\)이 됩니다. 즉, 전체 값 중 약 2.28%만이 130을 넘는다는 의미입니다.
자주 묻는 질문
z는 무엇인가요? z는 표준화 점수로, x가 평균에서 표준편차 몇 개만큼 위(양수) 또는 아래(음수)에 있는지를 나타냅니다.
σ는 왜 반드시 양수여야 하나요? 표준편차가 0이거나 음수이면 분포 자체가 정의되지 않고 0으로 나누는 오류가 발생합니다. 따라서 \(\sigma\)는 반드시 0보다 커야 합니다.
f(x)와 누적확률을 모두 더하면 1이 되나요? 두 누적확률 \(P(X \le x)\)와 \(P(X > x)\)를 더하면 1이 됩니다. 그러나 확률밀도 \(f(x)\)는 확률이 아니라 x 지점에서의 곡선 높이일 뿐이므로 이 합계에 포함되지 않습니다.
