i의 거듭제곱 계산기란?
허수 단위 i는 \(i^2 = -1\)로 정의됩니다. i를 정수 거듭제곱으로 계속 올리면 그 결과가 네 개의 값을 주기로 반복됩니다. 즉 \(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\)이고, \(i^4\)에서 다시 1로 돌아옵니다. 이 계산기는 양수, 0, 음수를 포함한 임의의 정수 지수 n을 받아 \(i^n\) 값을 1, i, −1, −i 네 가지 중 하나로 즉시 보여주며, 실수부와 허수부까지 함께 알려줍니다.
사용 방법
입력란에 지수 n을 적고 계산을 실행하세요. 계산기는 \(n \bmod 4\)를 구한 뒤(음수도 올바르게 처리되도록 보정), 그 나머지를 해당하는 값에 대응시킵니다. 나머지가 0이면 1, 1이면 i, 2이면 −1, 3이면 −i가 됩니다.
$$i^{\text{Exponent (n)}} = i^{\,m} = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}\quad\text{where } m = ((n \bmod 4) + 4) \bmod 4$$공식 풀이
\(i^4 = 1\)이므로 \(i^4\)를 곱해도 값은 절대 바뀌지 않습니다. 따라서 \(i^n\)은 오직 n을 4로 나눈 나머지에만 의존합니다. 음수 지수까지 깔끔하게 처리하기 위해 이 도구는 진짜 나머지 연산을 사용합니다:
$$i^{\text{Exponent (n)}} = i^{\,((\,n \bmod 4)\,+\,4)\,\bmod\,4}$$예를 들어 \(i^{-1} = 1/i = -i\)이며, 이는 나머지 3에 해당합니다.
예제 풀이
\(i^{13}\)을 계산해 봅시다. 13을 4로 나누면 나머지는 1입니다(\(13 = 4\times 3 + 1\)이므로). 따라서 \(i^{13} = i^1 =\) i이고, 실수부는 0, 허수부는 1입니다.
자주 묻는 질문
\(i^0\)은 얼마인가요? 0이 아닌 모든 수의 0제곱은 1이므로 \(i^0 = 1\)입니다.
음수 지수도 계산되나요? 네. 예를 들어 \(i^{-2} = -1\), \(i^{-1} = -i\)이며, 보정된 나머지 연산으로 정확하게 처리됩니다.
왜 4를 주기로 반복되나요? \(i^2 = -1\)이므로 \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\)이 되어 다시 처음으로 돌아오기 때문입니다.
