虚数単位iのべき乗計算機とは？
虚数単位 i は \(i^2 = -1\) と定義されます。i を整数乗していくと、その結果は4つの値の循環（サイクル）を繰り返します。つまり \(i^0 = 1\)、\(i^1 = i\)、\(i^2 = -1\)、\(i^3 = -i\)、そして \(i^4\) で再び 1 に戻ります。この計算機では、正・ゼロ・負を問わず任意の整数の指数 n を入力するだけで、\(i^n\) を 1・i・−1・−i の4つの値のいずれかとして瞬時に表示し、あわせて実部と虚部も求めます。
使い方
入力欄に指数 n を入力して計算を実行するだけです。計算機は \(n \bmod 4\) を求め（負の数でも正しく扱えるように調整しています）、その余りを対応する値に対応づけます。余りが 0 なら 1、1 なら i、2 なら −1、3 なら −i となります。
計算式の仕組み
\(i^4 = 1\) であるため、\(i^4\) を掛けても値は変わりません。したがって \(i^n\) は n を 4 で割った余りだけで決まります。負の指数もきれいに処理できるよう、本ツールでは真の剰余を用いています。$$i^{\text{Exponent (n)}} = i^{\,((\,n \bmod 4)\,+\,4)\,\bmod\,4}$$ たとえば \(i^{-1} = 1/i = -i\) であり、これは余り 3 に対応します。値は次のように分類できます。 $$i^{\text{Exponent (n)}} = i^{\,m} = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}\quad\text{where } m = ((n \bmod 4) + 4) \bmod 4$$
計算例
\(i^{13}\) を求めてみましょう。13 を 4 で割ると余りは 1 です（\(13 = 4\times 3 + 1\) だから）。よって $$i^{13} = i^1 = \mathbf{i}$$ となり、実部は 0、虚部は 1 です。
よくある質問
\(i^0\) はいくつ？ 0 でない数を 0 乗すると 1 になるので、\(i^0 = 1\) です。
負の指数でも計算できますか？ はい。たとえば \(i^{-2} = -1\)、\(i^{-1} = -i\) となり、調整した剰余によって正しく処理されます。
なぜ4ごとに循環するの？ \(i^2 = -1\) なので \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\) となり、最初の値に戻るためです。
