虚数計算機とは？
虚数単位 \(i\) は \(i^2 = -1\) と定義されます。\(i\) を整数乗すると、その結果は必ず 1・i・-1・-i の4つの値のいずれかに簡約されます。この計算機は、正・負・ゼロのいずれの指数 n を入力しても、\(i^n\) を最も簡単な形にし、さらに実部と虚部まで表示します。
使い方
指数 n（i を何乗するか）を入力して計算するだけです。計算機は n を 4 で割った余りを求め、それに対応する値を返します。余りを 0〜3 の範囲に正規化するため、負の指数でも正しく処理されます。
計算式の解説
i の累乗は、長さ 4 の周期で同じパターンを繰り返します。
\(i^0 = 1\)、\(i^1 = i\)、\(i^2 = -1\)、\(i^3 = -i\)、そして \(i^4 = 1\) と再び 1 に戻ります。このため、\(i^n\) は「n を 4 で割った余り」乗の i に等しくなります。 $$i^{\,\text{n}} = i^{\,(\text{n} \bmod 4)}$$ 計算では \(((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4\) を用いることで、たとえ n が負でも添字が必ず 0・1・2・3 のいずれかになるようにし、その値へ対応づけます。 $$i^{\,\text{n}} = i^{\,m}, \quad m = ((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$
計算例
\(i^{30}\) を求めてみましょう。30 を 4 で割ると、\(30 = 4 \times 7 + 2\) なので、\(30 \bmod 4 = 2\) です。したがって \(i^{30} = i^2 = -1\) となります。実部は -1、虚部は 0 です。
よくある質問
\(i^0\) はいくつ？ 0 でない数を 0 乗すると 1 になるので、\(i^0 = 1\) です。
負の累乗はどう扱われる？ \(i^{-1} = 1/i = -i\) です。余りの計算によって -1 は添字 3 に正規化され、正しく -i が返されます。
なぜ答えは4種類しかないの？ i を掛けることは、複素平面上で数を 90° 回転させることに相当します。4 回転すると元の位置に戻るため、長さ 4 の周期が生まれるのです。
