ガウス・エルミート求積法とは
ガウス・エルミート求積法は、ガウス型の重み \(e^{-x^2}\) を伴う実数全体にわたる積分を近似するための数値積分法です。n 点公式では、巧みに選ばれた n 個の点で被積分関数を評価し、それらの重み付き和として積分を近似します。すなわち、マイナス無限大からプラス無限大までの \(e^{-x^2}f(x)\) の積分は、おおよそ \(\sum w_i f(x_i)\) に等しくなります。$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$分点 \(x_i\) は物理学者の流儀によるエルミート多項式 \(H_n\) の根であり、重み \(w_i\) はこれらの多項式の直交性から定まります。
計算ツールの使い方
次数 \(n\)（点の個数。2〜100 の範囲）と表示桁数を選ぶと、分点と重みの一覧表が表示されます。本ツールは標準的な倍精度（double precision）で再計算しているため、表示精度は有効数字およそ 15 桁が上限です。それ以上の桁を意味のあるものにするには、任意精度演算が必要になります。n 点公式は、次数 \(2n-1\) までのすべての多項式を厳密に積分できます。
計算式の解説
分点は \(H_n(x)\) の n 個の実零点で、漸化式 \(H_0=1\)、\(H_1=2x\)、\(H_{k+1}=2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\) により定義されます。重みは $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\, [H_{n-1}(x_i)]^2}$$ で与えられます。本ツールは安定した Golub-Welsch 法を採用しています。対称三重対角のヤコビ行列（対角成分は 0、非対角成分は \(\sqrt{k/2}\)）を構成し、その固有値（＝分点）と固有ベクトルを求め、各重みを「対応する正規化固有ベクトルの第 1 成分の 2 乗 × \(\sqrt{\pi}\)」とします。$$\left\{ \begin{aligned} J\,v_i &= x_i\,v_i, \quad J_{kk}=0,\; J_{k,k+1}=J_{k+1,k}=\sqrt{\tfrac{k}{2}} \\ w_i &= \sqrt{\pi}\,\big(v_{i,1}\big)^2 \end{aligned} \right.$$この方法なら、大きな階乗によるオーバーフローを避けられます。
計算例（n = 2 の場合）
\(H_2(x) = 4x^2 - 2\) の根は \(x = \pm\tfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475\) です。各重みは \(\dfrac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot [H_1(x_i)]^2}\) で求められます。\(H_1(x)=2x\) より \([H_1]^2 = 2\) なので、各重みは $$\frac{2\cdot 2\cdot 1.7724538509055160}{4\cdot 2} = 0.8862269254527580$$ となります。これらの和は \(\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160\) となり、計算が正しいかどうかの確認に役立ちます。
よくある質問（FAQ）
なぜ重みの和は必ず \(\sqrt{\pi}\) になるのですか？ \(f(x)=1\) とおくと、実数全体にわたる \(e^{-x^2}\) の積分となり、その値は \(\sqrt{\pi}\) に等しくなります。求積公式はこれを厳密に再現します。
どのエルミート多項式の流儀を使っていますか？ 重み \(e^{-x^2}\) を用いる物理学者の流儀（physicists' convention）です。重み \(e^{-x^2/2}\) を用いる確率論者の流儀（probabilists' convention）では、分点と重みがスケーリングによって異なります。
\(e^{-x^2}\) の因子を含まない関数を積分できますか？ はい。\(g(x) = e^{x^2}f(x)\) と置けば、g の積分はおおよそ \(\sum w_i\, e^{x_i^2}\, g(x_i)\) として近似できます。
