가우스-에르미트 구적법이란?
가우스-에르미트 구적법은 가우스 가중함수 \(e^{-x^2}\)가 곱해진 형태로, 실수 전체 구간에서 정의된 적분을 수치적으로 근사하는 방법입니다. n점 공식은 적분값을 신중하게 선택된 n개의 점에서 계산한 피적분 함수값의 가중합으로 근사합니다. 즉, 마이너스 무한대부터 플러스 무한대까지의 \(e^{-x^2} f(x)\,dx\) 적분은 i에 대한 \(w_i\,f(x_i)\)의 합으로 근사됩니다. 노드 \(x_i\)는 물리학자 정의의 에르미트 다항식 \(H_n\)의 근이며, 가중치 \(w_i\)는 이 다항식들의 직교성으로부터 결정됩니다.
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$
계산기 사용법
차수 \(n\)(점의 개수, 2부터 100까지)과 표시할 자릿수를 선택한 뒤, 노드와 가중치 표를 확인하면 됩니다. 계산은 표준 배정밀도(double precision)로 이루어지므로 표시 정밀도는 약 15개의 유효숫자로 제한됩니다. 그 이상은 임의 정밀도 연산을 사용해야 추가 자릿수가 의미를 가지게 됩니다. n점 공식은 차수가 \(2n-1\) 이하인 모든 다항식을 정확하게 적분합니다.
공식 설명
노드는 \(H_n(x)\)의 n개 실근으로, \(H_n\)은 점화식 \(H_0=1\), \(H_1=2x\), \(H_{k+1}=2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\)로 정의됩니다. 가중치는 \(w_i = \dfrac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\,[H_{n-1}(x_i)]^2}\) 입니다. 이 계산기는 수치적으로 안정적인 Golub-Welsch 방법을 사용합니다. 대칭 삼중대각 야코비 행렬(대각선은 0, 비대각선은 \(\sqrt{k/2}\))을 구성하고, 그 고윳값(노드)과 고유벡터를 구한 다음, 각 가중치를 해당 정규화 고유벡터의 첫 성분 제곱에 \(\sqrt{\pi}\)를 곱한 값으로 설정합니다. 이 방식은 큰 팩토리얼로 인한 오버플로를 방지합니다.
$$\begin{gathered} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} J\,v_i &= x_i\,v_i, \quad J_{kk}=0,\; J_{k,k+1}=J_{k+1,k}=\sqrt{\tfrac{k}{2}} \\ w_i &= \sqrt{\pi}\,\big(v_{i,1}\big)^2 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$풀이 예제 (n = 2)
\(H_2(x) = 4x^2 - 2\)의 근은 \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475\) 입니다. 각 가중치는 \(\dfrac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot [H_1(x_i)]^2}\) 입니다. \(H_1(x)=2x\)이므로 \([H_1]^2 = 2\)가 되고, 따라서 각 가중치는 $$\frac{2\cdot 2\cdot 1.7724538509055160}{4\cdot 2} = 0.8862269254527580$$ 입니다. 두 가중치의 합은 \(\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160\)으로, 결과를 검증하기에 유용한 값입니다.
자주 묻는 질문
가중치의 합이 항상 \(\sqrt{\pi}\)가 되는 이유는 무엇인가요? \(f(x)=1\)로 두면 실수 전체 구간에서의 \(e^{-x^2}\) 적분이 되며, 이 값은 \(\sqrt{\pi}\)와 같습니다. 구적법은 이 결과를 정확하게 재현합니다.
여기서 사용하는 에르미트 다항식 규약은 무엇인가요? 가중함수 \(e^{-x^2}\)를 쓰는 물리학자 규약입니다. 가중함수가 \(e^{-x^2/2}\)인 확률론자 규약에서는 노드와 가중치가 스케일링에 따라 달라집니다.
\(e^{-x^2}\) 인자가 없는 함수도 적분할 수 있나요? 가능합니다. \(g(x) = e^{x^2}\,f(x)\)로 두면, g의 적분은 \(w_i\,e^{x_i^2}\,g(x_i)\)의 합으로 근사됩니다.
