계산 입력

결과

Gauss-Hermite Quadrature (20-point)

n = 20

물리학자 가중함수 e^(-x^2)에 대한 노드와 가중치

i	노드 x_i	가중치 w_i
1	-5.38748089001123	2.22939364553414e-13
2	-4.60368244955075	4.39934099227314e-10
3	-3.94476404011563	1.08606937076927e-07
4	-3.34785456738322	7.80255647853208e-06
5	-2.78880605842813	0.000228338636016353
6	-2.25497400208928	0.00324377334223785
7	-1.73853771211659	0.0248105208874637
8	-1.23407621539532	0.109017206020023
9	-0.737473728545394	0.286675505362834
10	-0.245340708300901	0.462243669600610
11	0.245340708300901	0.462243669600610
12	0.737473728545395	0.286675505362835
13	1.23407621539532	0.109017206020023
14	1.73853771211659	0.0248105208874636
15	2.25497400208928	0.00324377334223785
16	2.78880605842813	0.000228338636016355
17	3.34785456738322	7.80255647853212e-06
18	3.94476404011563	1.08606937076928e-07
19	4.60368244955074	4.39934099227318e-10
20	5.38748089001123	2.22939364553414e-13

Self-check: sum of all weights = 1.7724538509055163, which should equal sqrt(pi) = 1.7724538509055159.

가우스-에르미트 구적법이란?

가우스-에르미트 구적법은 가우스 가중함수 $e^{-x^2}$가 곱해진 형태로, 실수 전체 구간에서 정의된 적분을 수치적으로 근사하는 방법입니다. n점 공식은 적분값을 신중하게 선택된 n개의 점에서 계산한 피적분 함수값의 가중합으로 근사합니다. 즉, 마이너스 무한대부터 플러스 무한대까지의 $e^{-x^2} f(x)\,dx$ 적분은 i에 대한 $w_i\,f(x_i)$의 합으로 근사됩니다. 노드 $x_i$는 물리학자 정의의 에르미트 다항식 $H_n$의 근이며, 가중치 $w_i$는 이 다항식들의 직교성으로부터 결정됩니다.

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$

표본점과 절점 위의 수직 막대가 있는 종 모양 가중치 곡선 — 가우스-에르미트 구적법은 $e^{-x^2}$로 가중된 적분을 교묘하게 배치한 소수의 절점으로 근사합니다.

계산기 사용법

차수 $n$(점의 개수, 2부터 100까지)과 표시할 자릿수를 선택한 뒤, 노드와 가중치 표를 확인하면 됩니다. 계산은 표준 배정밀도(double precision)로 이루어지므로 표시 정밀도는 약 15개의 유효숫자로 제한됩니다. 그 이상은 임의 정밀도 연산을 사용해야 추가 자릿수가 의미를 가지게 됩니다. n점 공식은 차수가 $2n-1$ 이하인 모든 다항식을 정확하게 적분합니다.

공식 설명

노드는 $H_n(x)$의 n개 실근으로, $H_n$은 점화식 $H_0=1$, $H_1=2x$, $H_{k+1}=2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}$로 정의됩니다. 가중치는 $w_i = \dfrac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\,[H_{n-1}(x_i)]^2}$ 입니다. 이 계산기는 수치적으로 안정적인 Golub-Welsch 방법을 사용합니다. 대칭 삼중대각 야코비 행렬(대각선은 0, 비대각선은 $\sqrt{k/2}$)을 구성하고, 그 고윳값(노드)과 고유벡터를 구한 다음, 각 가중치를 해당 정규화 고유벡터의 첫 성분 제곱에 $\sqrt{\pi}$를 곱한 값으로 설정합니다. 이 방식은 큰 팩토리얼로 인한 오버플로를 방지합니다.

$$\begin{gathered} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} J\,v_i &= x_i\,v_i, \quad J_{kk}=0,\; J_{k,k+1}=J_{k+1,k}=\sqrt{\tfrac{k}{2}} \\ w_i &= \sqrt{\pi}\,\big(v_{i,1}\big)^2 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

풀이 예제 (n = 2)

$H_2(x) = 4x^2 - 2$의 근은 $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475$ 입니다. 각 가중치는 $\dfrac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot [H_1(x_i)]^2}$ 입니다. $H_1(x)=2x$이므로 $[H_1]^2 = 2$가 되고, 따라서 각 가중치는 $$\frac{2\cdot 2\cdot 1.7724538509055160}{4\cdot 2} = 0.8862269254527580$$ 입니다. 두 가중치의 합은 $\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160$으로, 결과를 검증하기에 유용한 값입니다.

종 모양 곡선 아래 축 위에 같은 높이의 가중치 막대를 가진 대칭 절점 두 개 — n = 2일 때 두 절점은 $\pm\sqrt{1/2}$에 대칭으로 놓이며 가중치가 같습니다.

자주 묻는 질문

가중치의 합이 항상 $\sqrt{\pi}$가 되는 이유는 무엇인가요? $f(x)=1$로 두면 실수 전체 구간에서의 $e^{-x^2}$ 적분이 되며, 이 값은 $\sqrt{\pi}$와 같습니다. 구적법은 이 결과를 정확하게 재현합니다.

여기서 사용하는 에르미트 다항식 규약은 무엇인가요? 가중함수 $e^{-x^2}$를 쓰는 물리학자 규약입니다. 가중함수가 $e^{-x^2/2}$인 확률론자 규약에서는 노드와 가중치가 스케일링에 따라 달라집니다.

$e^{-x^2}$ 인자가 없는 함수도 적분할 수 있나요? 가능합니다. $g(x) = e^{x^2}\,f(x)$로 두면, g의 적분은 $w_i\,e^{x_i^2}\,g(x_i)$의 합으로 근사됩니다.

가우스-에르미트 구적법 노드 및 가중치 계산기