什么是高斯-埃尔米特求积？
高斯-埃尔米特求积（Gauss-Hermite quadrature）是一种数值积分方法，专门用于近似计算在整个实数轴上、且带有高斯权函数 \(e^{-x^2}\) 的积分。n 点公式将积分近似为被积函数在 n 个精心选取的节点处取值后的加权和：从负无穷到正无穷的积分 \(\int e^{-x^2}\,f(x)\,dx\) 约等于各项 \(w_i\cdot f(x_i)\) 之和。其中节点 \(x_i\) 是物理学家约定下埃尔米特多项式 \(H_n\) 的根，而权重 \(w_i\) 则由这些多项式的正交性决定。
如何使用本计算器
先选择阶数 \(n\)（即节点个数，范围为 2 到 100），再设定显示位数，即可直接读取节点与权重的表格。由于计算过程采用标准双精度浮点运算，显示精度上限约为 15 位有效数字——超出这一范围后，要让额外位数真正有意义就需要使用任意精度运算了。n 点公式可以对次数不超过 \(2n-1\) 的所有多项式给出精确的积分结果。
公式详解
节点是 \(H_n(x)\) 的 n 个实零点，该多项式由递推关系定义：\(H_0=1\)，\(H_1=2x\)，\(H_{k+1}=2x\cdot H_k - 2k\cdot H_{k-1}\)。权重的公式为 $$w_i = \frac{2^{n-1}\cdot n!\cdot \sqrt{\pi}}{n^2\cdot [H_{n-1}(x_i)]^2}.$$本计算器采用数值稳定的 Golub-Welsch 方法：先构造对称三对角的雅可比矩阵（对角线为零，副对角线为 \(\sqrt{k/2}\)），再求出它的特征值（即节点）与特征向量，并将每个权重设为 \(\sqrt{\pi}\) 乘以相应归一化特征向量第一个分量的平方。这种做法可以避免大阶乘带来的数值溢出问题。
实例演算（n = 2）
\(H_2(x) = 4x^2 - 2\) 的根为 \(x = \pm 1/\sqrt{2} = \pm 0.7071067811865475\)。每个权重为 \(\dfrac{2^1\cdot 2!\cdot \sqrt{\pi}}{2^2\cdot [H_1(x_i)]^2}\)。由于 \(H_1(x)=2x\)，故 \([H_1]^2 = 2\)，因此每个权重 $$= \frac{2\cdot 2\cdot 1.7724538509055160}{4\cdot 2} = 0.8862269254527580.$$两者之和正好等于 \(\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160\)，这可以作为一个方便的自检。
常见问题
为什么权重之和总是等于 \(\sqrt{\pi}\)？令 \(f(x)=1\)，此时积分就变成 \(e^{-x^2}\) 在整个实数轴上的积分，其值恰好等于 \(\sqrt{\pi}\)；而求积公式能精确重现这一结果。
这里采用的是哪种埃尔米特约定？采用的是物理学家约定，对应权函数 \(e^{-x^2}\)。如果使用概率学家约定的权函数 \(e^{-x^2/2}\)，节点与权重会相差一个缩放因子。
我能否对不含 \(e^{-x^2}\) 因子的函数积分？可以——只需令 \(g(x) = e^{x^2}\cdot f(x)\)，那么 \(g\) 的积分就约等于各项 \(w_i\cdot e^{x_i^2}\cdot g(x_i)\) 之和。
