这个计算器能做什么
本工具用于计算 n 点广义高斯-拉盖尔求积的节点（横坐标）\(x_i\) 和对应权重 \(w_i\)。它是一款纯数学的数值积分工具，在任何国家、任何场景下结果都完全一致。该求积公式用于近似计算半无穷区间 \([0, \infty)\) 上、带有权函数 \(x^{\alpha}e^{-x}\) 的积分：
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$
这些节点正是广义拉盖尔多项式 \(L_n^{(\alpha)}(x)\) 的正零点；当 f 为次数不超过 \(2n-1\) 的多项式时，该公式给出精确结果。
使用方法
先选择阶数 n（即节点数，范围 2 至 100），再输入指数参数 \(\alpha\)（任意大于 \(-1\) 的实数；经典高斯-拉盖尔公式取 \(\alpha = 0\)），最后设定希望显示的有效位数。计算结果会按 \(x_i\) 从小到大列出每个节点及其配对权重，并附带一项内置的自检验证。
公式与算法
每个权重都有如下闭式表达式：$$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot\left[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)\right]^{2}}$$ 在内部计算时，我们采用与之等价、且数值更稳定的 Golub-Welsch 方法：构造对称三对角 Jacobi 矩阵，其主对角元为 \(a_k = 2k+\alpha+1\)，次对角元为 \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\)。该矩阵的特征值即为节点，而每个权重等于 \(\mu_0\cdot\)（对应特征向量第一个分量）\(^{2}\)，其中 \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\) 为零阶矩。这种做法可避免大阶乘带来的数值溢出。
算例演示
取 \(n = 2\)、\(\alpha = 0\)：\(L_2^{(0)}(x) = (x^{2}-4x+2)/2\)，其根为 \(x = 2 \pm \sqrt{2}\)，于是 \(x_1 = 0.5857864\)、\(x_2 = 3.4142136\)。对应权重为 \(w_1 = (2+\sqrt{2})/4 = 0.8535534\)，\(w_2 = (2-\sqrt{2})/4 = 0.1464466\)。两者之和为 \(1 = \Gamma(1)\)，验证结果无误。
常见问题
\(\alpha\) 起什么作用？ 它决定了权函数中的 \(x^{\alpha}\)；\(\alpha = 0\) 对应标准高斯-拉盖尔公式，而 \(\alpha > 0\) 会让权重更偏向远离原点的区域。它必须大于 \(-1\)。
精度如何？ n 点公式可精确积分次数不超过 \(2n-1\) 的多项式；对于光滑函数，收敛速度很快。
如何核对输出结果？ 所有权重之和恒等于 \(\Gamma(\alpha+1)\)，对应结果中"零阶矩"一行的数值。
