這個計算器能做什麼
本工具可計算 n 點廣義高斯-拉蓋爾求積（Gauss-Laguerre quadrature）的節點（橫座標）\(x_i\) 與權重 \(w_i\)。它屬於純數學的數值積分工具，在世界各地的運算結果都完全一致。此求積法則用來近似在半無窮區間 [0, ∞) 上、帶有權函數 \(x^{\alpha} e^{-x}\) 的積分：
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$這些節點正是廣義拉蓋爾多項式 \(L_n^{(\alpha)}(x)\) 的正根；只要 f 是次數不超過 \(2n-1\) 的多項式，此法則就能給出精確值。
使用方式
先選定階數 n（取點個數，範圍 2 到 100），輸入指數參數 \(\alpha\)（任何大於 −1 的實數；經典高斯-拉蓋爾法則取 \(\alpha = 0\)），再選擇要顯示的有效位數。計算結果會依 \(x_i\) 由小到大列出每一個節點及其對應權重，並附上內建的自我驗算。
公式與計算方法
每個權重都有封閉形式：
$$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot \left[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)\right]^2}$$在實作上，我們採用數值上更穩定且等價的 Golub-Welsch 方法：建構對稱三對角的 Jacobi 矩陣，其對角元素 \(a_k = 2k+\alpha+1\)，非對角元素 \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\)。該矩陣的特徵值即為節點，而每個權重等於 \(\mu_0 \cdot (\text{特徵向量第一個分量})^2\)，其中 \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\) 為零階矩。此法可避免大階乘造成的數值溢位。
範例演算
以 \(n = 2\)、\(\alpha = 0\) 為例：\(L_2^{(0)}(x) = (x^2-4x+2)/2\)，因此其根為 \(x = 2 \pm \sqrt{2}\)，可得 \(x_1 = 0.5857864\)、\(x_2 = 3.4142136\)。對應權重為 \(w_1 = (2+\sqrt{2})/4 = 0.8535534\)、\(w_2 = (2-\sqrt{2})/4 = 0.1464466\)。兩者相加恰為 \(1 = \Gamma(1)\)，驗證結果無誤。
常見問題
\(\alpha\) 的作用是什麼？它決定權函數中的 \(x^{\alpha}\)；\(\alpha = 0\) 即標準高斯-拉蓋爾法則，而 \(\alpha > 0\) 會把權重往遠離原點的方向偏移。\(\alpha\) 必須大於 −1。
精確度如何？n 點法則能對次數最高至 \(2n-1\) 的多項式給出精確結果；對於平滑函數，收斂速度相當快。
如何驗證輸出結果？所有權重之和恆等於 \(\Gamma(\alpha+1)\)，會以零階矩那一列顯示出來。
