Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule les nœuds (abscisses) \(x_i\) et les poids \(w_i\) de la quadrature de Gauss-Laguerre généralisée à n points. Il s'agit d'un outil d'intégration numérique purement mathématique, valable partout de la même façon. La méthode approxime les intégrales sur l'intervalle semi-infini [0, ∞) pondérées par la fonction poids \(x^{\alpha}e^{-x}\) :
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i).$$Les nœuds sont les zéros positifs du polynôme de Laguerre généralisé \(L_n^{(\alpha)}(x)\), et la formule est exacte dès lors que f est un polynôme de degré au plus \(2n-1\).
Comment l'utiliser
Choisissez l'ordre n (nombre de points, de 2 à 100), saisissez le paramètre d'exposant \(\alpha\) (tout réel strictement supérieur à −1 ; la quadrature de Gauss-Laguerre classique utilise \(\alpha = 0\)), puis indiquez le nombre de chiffres significatifs à afficher. Le résultat présente chaque nœud et le poids associé, classés par valeurs croissantes de \(x_i\), accompagnés d'une vérification automatique intégrée.
La formule et la méthode
Chaque poids suit la forme close $$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot\left[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)\right]^{2}}.$$ En interne, nous utilisons la méthode de Golub-Welsch, équivalente et numériquement stable : on construit la matrice de Jacobi tridiagonale symétrique de diagonale \(a_k = 2k+\alpha+1\) et de termes hors diagonale \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\). Ses valeurs propres sont les nœuds, et chaque poids vaut \(\mu_0\cdot(\text{première composante du vecteur propre})^{2}\), où \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\) est le moment d'ordre zéro. On évite ainsi les débordements liés aux grandes factorielles.
Exemple détaillé
Pour \(n = 2\) et \(\alpha = 0\) : \(L_2^{(0)}(x) = (x^2-4x+2)/2\), dont les racines sont \(x = 2 \pm \sqrt{2}\), soit \(x_1 = 0{,}5857864\) et \(x_2 = 3{,}4142136\). Les poids valent $$w_1 = \frac{2+\sqrt{2}}{4} = 0{,}8535534 \quad\text{et}\quad w_2 = \frac{2-\sqrt{2}}{4} = 0{,}1464466.$$ Leur somme est égale à \(1 = \Gamma(1)\), ce qui confirme le résultat.
FAQ
À quoi sert \(\alpha\) ? Il définit le poids \(x^{\alpha}\) ; \(\alpha = 0\) donne la quadrature de Gauss-Laguerre standard, tandis que \(\alpha > 0\) déplace le poids loin de l'origine. Il doit être strictement supérieur à −1.
Quelle est sa précision ? La formule à n points intègre exactement les polynômes jusqu'au degré \(2n-1\) ; pour les fonctions régulières, la convergence est rapide.
Comment vérifier le résultat ? La somme de tous les poids est toujours égale à \(\Gamma(\alpha+1)\), affichée sur la ligne du moment d'ordre zéro.
