Công cụ này làm gì
Công cụ tính các nút (hoành độ) \(x_i\) và trọng số \(w_i\) cho cầu phương Gauss-Laguerre tổng quát n điểm. Đây là công cụ tích phân số thuần toán học, cho kết quả như nhau ở mọi nơi. Quy tắc này xấp xỉ các tích phân trên khoảng nửa vô hạn [0, ∞) có chứa hàm trọng số \(x^{\alpha}e^{-x}\):
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$Các nút chính là những nghiệm dương của đa thức Laguerre tổng quát \(L_n^{(\alpha)}(x)\), và quy tắc cho kết quả chính xác tuyệt đối khi f là đa thức có bậc không vượt quá \(2n-1\).
Cách sử dụng
Chọn Bậc n (số điểm, từ 2 đến 100), nhập tham số mũ \(\alpha\) (số thực bất kỳ lớn hơn −1; quy tắc Gauss-Laguerre kinh điển dùng \(\alpha = 0\)), rồi chọn số chữ số hiển thị có nghĩa mà bạn muốn. Kết quả liệt kê từng nút cùng trọng số tương ứng theo thứ tự \(x_i\) tăng dần, kèm theo phần tự kiểm tra tích hợp sẵn.
Công thức và phương pháp
Mỗi trọng số tuân theo dạng đóng $$w_i = \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\cdot x_i}{n!\cdot\left[(n+1)L_{n+1}^{(\alpha)}(x_i)\right]^2}.$$ Bên trong, chúng tôi dùng phương pháp Golub-Welsch tương đương và ổn định về mặt số học: dựng ma trận Jacobi ba đường chéo đối xứng với đường chéo chính \(a_k = 2k+\alpha+1\) và đường chéo phụ \(b_k = \sqrt{k(k+\alpha)}\). Các giá trị riêng của ma trận chính là các nút, còn mỗi trọng số bằng \(\mu_0\cdot(\text{thành phần đầu tiên của vectơ riêng})^2\), trong đó \(\mu_0 = \Gamma(\alpha+1)\) là mômen bậc không. Cách làm này tránh được hiện tượng tràn số do các giai thừa lớn gây ra.
Ví dụ minh họa
Với \(n = 2\), \(\alpha = 0\): \(L_2^{(0)}(x) = (x^2-4x+2)/2\), nên các nghiệm là \(x = 2 \pm \sqrt{2}\), cho ta \(x_1 = 0.5857864\) và \(x_2 = 3.4142136\). Các trọng số là \(w_1 = (2+\sqrt{2})/4 = 0.8535534\) và \(w_2 = (2-\sqrt{2})/4 = 0.1464466\). Tổng của chúng bằng \(1 = \Gamma(1)\), đúng như kết quả mong đợi.
Câu hỏi thường gặp
\(\alpha\) có vai trò gì? Nó xác định hàm trọng số \(x^{\alpha}\); \(\alpha = 0\) cho ra Gauss-Laguerre chuẩn, còn \(\alpha > 0\) dồn trọng số ra xa gốc tọa độ. Giá trị này bắt buộc phải lớn hơn −1.
Độ chính xác ra sao? Quy tắc n điểm tích phân chính xác các đa thức tới bậc \(2n-1\); với các hàm trơn, kết quả hội tụ rất nhanh.
Làm sao kiểm tra kết quả? Tổng tất cả trọng số luôn bằng \(\Gamma(\alpha+1)\), được hiển thị ở dòng mômen bậc không.
