Máy Tính Nút và Trọng Số Cầu Phương Gauss-Lobatto

Nhập phép tính

Số điểm n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Số chữ số có nghĩa 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Kết quả

Gauss-Lobatto rule, n = 20

20

points on the interval [-1, 1] · sum of weights = 2

i	Nút x_i	Trọng số w_i
1	-1	0,005263157894737
2	-0,980743704893914	0,032237123188489
3	-0,935934498812665	0,057181802127567
4	-0,86687797808995	0,08063176399612
5	-0,775368260952056	0,101991499699451
6	-0,663776402290311	0,120709227628675
7	-0,534992864031886	0,136300482358724
8	-0,392353183713909	0,148361554070917
9	-0,239551705922986	0,156580102647475
10	-0,080545937238822	0,160743286387846
11	0,080545937238822	0,160743286387846
12	0,239551705922986	0,156580102647475
13	0,392353183713909	0,148361554070917
14	0,534992864031886	0,136300482358724
15	0,663776402290311	0,120709227628675
16	0,775368260952056	0,101991499699451
17	0,86687797808995	0,08063176399612
18	0,935934498812665	0,057181802127567
19	0,980743704893914	0,032237123188489
20	1	0,005263157894737

Máy tính này làm gì

Công cụ này tính các nút (hoành độ) \(x_i\) và trọng số \(w_i\) của quy tắc cầu phương Gauss-Lobatto n điểm trên khoảng tham chiếu \([-1, 1]\) với hàm trọng số \(w(x) = 1\). Khác với cầu phương Gauss-Legendre tiêu chuẩn, quy tắc Gauss-Lobatto luôn buộc hai đầu mút \(x = -1\) và \(x = +1\) phải là nút cầu phương — điều này rất hữu ích khi giá trị tại biên có ý nghĩa quan trọng (chẳng hạn trong phương pháp phần tử phổ). Đây là bài toán giải tích số thuần túy, áp dụng giống hệt nhau ở mọi nơi và không phụ thuộc vào quốc gia hay vùng lãnh thổ nào.

Gauss-Lobatto nodes on [-1, 1] include both endpoints; bar heights suggest the associated weights.

Cách sử dụng

Bạn chọn số điểm \(n\) (từ 2 đến 100) và tùy ý chọn độ chính xác hiển thị. Máy tính sẽ trả về một bảng gồm \(n\) dòng, mỗi dòng cho biết nút \(x_i\) cùng trọng số \(w_i\) tương ứng. Các nút đối xứng quanh điểm 0 và trọng số cũng đối xứng, nên \(x_i\) và \(-x_i\) có chung một trọng số. Như một phép kiểm tra tự động, tổng tất cả các trọng số luôn bằng 2 — đúng bằng độ dài của khoảng.

Giải thích công thức

Quy tắc này xấp xỉ tích phân bằng tổng \(w_1 f(x_1) + \dots + w_n f(x_n)\) và chính xác tuyệt đối cho đa thức bậc đến \(2n-3\). Các nút bên trong \(x_2, \dots, x_{n-1}\) chính là \(n-2\) nghiệm của \(P'_{n-1}(x)\), tức đạo hàm của đa thức Legendre bậc \(n-1\). Hai đầu mút nhận trọng số \(\frac{2}{n(n-1)}\), còn mỗi nút bên trong \(x_i\) nhận trọng số \(\frac{2}{n(n-1)\left[P_{n-1}(x_i)\right]^2}\).

$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$

Máy tính tìm các nghiệm bên trong bằng phép lặp Newton, xuất phát từ các giá trị dự đoán Chebyshev-Gauss-Lobatto \(\cos\!\left(\frac{\pi j}{n-1}\right)\), cho độ chính xác kép đầy đủ (khoảng 15-16 chữ số có nghĩa).

The integral is approximated by a weighted sum of function values at the nodes, with the two endpoints always included.

Ví dụ minh họa (n = 4)

Các nút bên trong thỏa mãn \(P'_3(x) = \frac{15x^2 - 3}{2} = 0\), nên \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955\). Trọng số tại đầu mút là \(\frac{2}{4\cdot 3} = \frac{1}{6} = 0.1666666667\). Với các nút bên trong, \(P_3\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955\), bình phương lên bằng \(0.2\), cho trọng số \(\frac{2}{4\cdot 3\cdot 0.2} = \frac{5}{6} = 0.8333333333\). Tổng \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 2\), đúng như kỳ vọng của quy tắc.

Câu hỏi thường gặp

Quy tắc này khác Gauss-Legendre ở điểm nào? Gauss-Legendre đặt toàn bộ các nút nằm hẳn bên trong khoảng \((-1, 1)\) và chính xác đến bậc \(2n-1\). Trong khi đó Gauss-Lobatto cố định cả hai đầu mút làm nút và chỉ chính xác đến bậc \(2n-3\) — đánh đổi hai bậc chính xác để có được sự hiện diện của biên.

Làm sao áp dụng cho khoảng tổng quát [a, b]? Hãy ánh xạ mỗi nút theo công thức \(x \to \frac{b-a}{2}\, x + \frac{a+b}{2}\) và nhân mỗi trọng số với \(\frac{b-a}{2}\). Trang này chỉ xuất ra các giá trị trên \([-1, 1]\).

Vì sao tổng các trọng số phải bằng 2? Tích phân của \(f(x) = 1\) trên \([-1, 1]\) bằng 2, và quy tắc này chính xác với hằng số, nên tổng các trọng số bắt buộc phải bằng độ dài của khoảng.