高斯-洛巴托求积节点与权重计算器

输入计算

点数 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

有效数字位数 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

结果

Gauss-Lobatto rule, n = 20

20

points on the interval [-1, 1] · sum of weights = 2

i	节点 x_i	权重 w_i
1	-1	0.005263157894737
2	-0.980743704893914	0.032237123188489
3	-0.935934498812665	0.057181802127567
4	-0.86687797808995	0.08063176399612
5	-0.775368260952056	0.101991499699451
6	-0.663776402290311	0.120709227628675
7	-0.534992864031886	0.136300482358724
8	-0.392353183713909	0.148361554070917
9	-0.239551705922986	0.156580102647475
10	-0.080545937238822	0.160743286387846
11	0.080545937238822	0.160743286387846
12	0.239551705922986	0.156580102647475
13	0.392353183713909	0.148361554070917
14	0.534992864031886	0.136300482358724
15	0.663776402290311	0.120709227628675
16	0.775368260952056	0.101991499699451
17	0.86687797808995	0.08063176399612
18	0.935934498812665	0.057181802127567
19	0.980743704893914	0.032237123188489
20	1	0.005263157894737

这个计算器能做什么

本工具用于计算参考区间 [-1, 1] 上、权函数 \(w(x) = 1\) 时 \(n\) 点高斯-洛巴托（Gauss-Lobatto）求积公式的节点（横坐标）\(x_i\) 及对应权重 \(w_i\)。与标准的高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积不同，高斯-洛巴托公式始终把两个端点 \(x = -1\) 和 \(x = +1\) 作为求积节点。当边界取值很重要时（例如谱单元方法中），这一点尤为有用。本工具属于纯数值分析范畴，在任何国家和地区都通用，不涉及特定地域规则。

Gauss-Lobatto nodes on [-1, 1] include both endpoints; bar heights suggest the associated weights.

如何使用

先选择点数 \(n\)（取值范围 2 到 100），如有需要可设置显示精度。计算器会返回一张包含 \(n\) 行的表格，每行给出节点 \(x_i\) 及其权重 \(w_i\)。节点关于 0 对称，权重同样对称，因此 \(x_i\) 与 \(-x_i\) 共用相同的权重。作为内置的校验手段，所有权重之和应当等于 2，即区间的长度。

公式详解

该公式将积分近似为 \(w_1 f(x_1) + \ldots + w_n f(x_n)\) 的和，并对次数不超过 \(2n-3\) 的多项式精确成立。 $$\begin{gathered} \int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_1 &= -1,\quad x_{n} = 1 \\ x_i &: P_{n-1}^{\prime}(x_i) = 0 \quad(\text{interior}) \\ w_{1} &= w_{n} = \frac{2}{n\,(n-1)} \\ w_i &= \frac{2}{n\,(n-1)\,\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$ 内部节点 \(x_2, \ldots, x_{n-1}\) 是 \(P'_{n-1}(x)\) 的 \(n-2\) 个零点，其中 \(P_{n-1}\) 为 \(n-1\) 次勒让德多项式，\(P'_{n-1}\) 为其导数。端点权重为 \(\frac{2}{n(n-1)}\)，而每个内部节点 \(x_i\) 的权重为 \(\frac{2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_i)]^2}\)。计算器以切比雪夫-高斯-洛巴托初值 \(\cos\left(\frac{\pi j}{n-1}\right)\) 为起点，通过牛顿迭代求出内部根，可达到完整的双精度（约 15-16 位有效数字）。

The integral is approximated by a weighted sum of function values at the nodes, with the two endpoints always included.

计算实例（n = 4）

内部节点满足 \(P'_3(x) = \frac{15x^2 - 3}{2} = 0\)，故 \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955\)。端点权重为 \(\frac{2}{4\cdot 3} = \frac{1}{6} = 0.1666666667\)。对于内部节点，\(P_3\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955\)，其平方为 \(0.2\)，于是权重为 \(\frac{2}{4\cdot 3\cdot 0.2} = \frac{5}{6} = 0.8333333333\)。验证求和：\(\frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 2\)，与公式相符。

常见问题

它与高斯-勒让德有何区别？高斯-勒让德把所有节点都严格放在区间 \((-1, 1)\) 内部，对次数不超过 \(2n-1\) 的多项式精确；高斯-洛巴托则把两个端点固定为节点，对次数不超过 \(2n-3\) 的多项式精确——以牺牲两阶精度为代价换取对边界点的包含。

如何把这些值用到一般区间 [a, b] 上？将每个节点按 \(x \to \frac{b-a}{2} x + \frac{a+b}{2}\) 映射，并把每个权重乘以 \(\frac{b-a}{2}\) 即可。本页面只输出 [-1, 1] 上的对应值。

为什么权重之和必须等于 2？对 \(f(x) = 1\) 在 [-1, 1] 上积分结果为 2，而该公式对常数函数精确成立，因此所有权重之和必然等于区间长度。