この計算ツールでできること
このツールは、基準区間[-1, 1]上で重み関数 \(w(x) = 1\) とするn点ガウス・ロバート求積公式の分点（横座標）\(x_i\) と重み \(w_i\) を計算します。標準的なガウス・ルジャンドル求積法と異なり、ガウス・ロバート求積法では両端点 \(x = -1\) と \(x = +1\) を必ず分点として含めます。これは、境界の値が重要となる場面（たとえばスペクトル要素法など）で大きな利点となります。本計算は純粋な数値解析の手法であり、国や地域を問わず同じように適用できます。
使い方
分点数 \(n\)（2～100）を指定し、必要に応じて表示桁数を選びます。計算結果として、各行に分点 \(x_i\) とその重み \(w_i\) を示すn行の表が出力されます。分点は0を中心に対称に分布し、重みも対称になるため、\(x_i\) と \(-x_i\) は同じ重みを持ちます。検算として、すべての重みの総和は区間の長さである2と一致します。
計算式の解説
この求積公式は積分を $$w_1 f(x_1) + \cdots + w_n f(x_n)$$ の和で近似し、次数 \(2n-3\) までの多項式に対して厳密です。内部の分点 \(x_2, \ldots, x_{n-1}\) は、次数 \(n-1\) のルジャンドル多項式の導関数 \(P_{n-1}'(x)\) の \(n-2\) 個の零点として与えられます。両端点の重みは \(\dfrac{2}{n(n-1)}\)、各内部分点 \(x_i\) の重みは $$\frac{2}{n(n-1)\left[P_{n-1}(x_i)\right]^2}$$ です。本計算では、チェビシェフ・ガウス・ロバート点 \(\cos\!\left(\dfrac{\pi j}{n-1}\right)\) を初期値としてニュートン法で内部の根を求め、倍精度（有効数字約15～16桁）の精度を得ています。
![Curve f(x) over [-1,1] approximated by weighted samples at Gauss-Lobatto nodes including the endpoints](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-e6654dfc74/gauss-lobatto-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
計算例（n = 4 の場合）
内部分点は \(P_3'(x) = \dfrac{15x^2 - 3}{2} = 0\) を解いて $$x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955$$ となります。端点の重みは \(\dfrac{2}{4 \times 3} = \dfrac{1}{6} = 0.1666666667\) です。内部分点では \(P_3\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955\) となり、その2乗は0.2なので、重みは \(\dfrac{2}{4 \times 3 \times 0.2} = \dfrac{5}{6} = 0.8333333333\) です。総和 \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 2\) となり、公式が正しいことが確認できます。
よくある質問
ガウス・ルジャンドル求積法とはどう違いますか？ ガウス・ルジャンドル求積法はすべての分点を開区間 \((-1, 1)\) の内部に配置し、次数 \(2n-1\) まで厳密です。ガウス・ロバート求積法は両端点を分点として固定し、次数 \(2n-3\) まで厳密です。2次分の精度を引き換えに、境界を分点に含められるのが特徴です。
一般の区間 [a, b] ではどう使えばよいですか？ 各分点を \(x \to \dfrac{b-a}{2}\,x + \dfrac{a+b}{2}\) で変換し、すべての重みに \(\dfrac{b-a}{2}\) を掛けてください。このページでは [-1, 1] 上の値のみを出力します。
なぜ重みの総和は2になるのですか？ \(f(x) = 1\) を区間 [-1, 1] で積分すると2になり、この公式は定数に対して厳密なので、重みの総和は区間の長さと一致する必要があるためです。
