ガウス・ルジャンドル求積法計算ツールとは
本ツールは、基準区間[-1, 1]におけるn点ガウス・ルジャンドル求積法の分点（nodes）と重み（weights）を計算します。ガウス・ルジャンドル求積法は、定積分を関数値の重み付き和で近似する数値積分法です。すなわち、-1から1までの\(f(x)\)の積分は、各\(i\)についての\(w_i \times f(x_i)\)の総和でおよそ表されます。わずか\(n\)個の点で次数\(2n-1\)までの多項式を厳密に積分できるため、台形則やシンプソン則のような等間隔の方法に比べてはるかに高精度です。
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$使い方
次数\(n\)（点の数、2〜100）を選び、必要に応じて表示する有効桁数を指定します。計算結果は\(n\)行の表で、各行に分点\(x_i\)とその重み\(w_i\)が表示されます。分点は0を中心に対称で、すべて開区間(-1, 1)の内部に収まります。重みはすべて正の値で、その総和は区間の長さである2にちょうど一致します。任意の区間[a, b]で積分するには、各分点を\(t_i = \frac{b-a}{2} \times x_i + \frac{a+b}{2}\)で変換し、各重みに\(\frac{b-a}{2}\)を掛けてください。
計算式の解説
分点は、ルジャンドル多項式\(P_n(x)\)の\(n\)個の根です。この多項式はボネの漸化式で構成され、\(P_0=1\)、\(P_1=x\)、\(P_k = \frac{(2k-1) x P_{k-1} - (k-1) P_{k-2}}{k}\) となります。各重みは
$$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}}$$で与えられ、ここで導関数は\(P_n^{\prime}(x) = \frac{n\left(x P_n(x) - P_{n-1}(x)\right)}{x^2 - 1}\)です。根は初期値\(x = \cos\left(\frac{\pi (i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\)から始めるニュートン法で求められ、数回の反復で収束します。
![[-1,1]上の滑らかな関数を、重み付き寄与をもつ複数の不均一な対称節点で標本化](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-1-6a54317456/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
計算例（n = 3）
\(P_3\)の根は\(x = 0\)および\(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692\)です。\(x = 0\)での重みは\(\frac{8}{9} = 0.888888889\)、\(x = \pm 0.7745966692\)それぞれでの重みは\(\frac{5}{9} = 0.555555556\)となります。重みの総和は\(\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2\)となり、この3点公式は次数5までの多項式を厳密に積分します。
![[-1,1]上の3つの対称なガウス・ルジャンドル節点。中央の節点がより大きな重みを持つ](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-a8fd6492e0/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
よくある質問
なぜ重みの総和は2になるのですか？ 定数関数\(f(x) = 1\)を区間[-1, 1]で積分すると2になります。求積法は定数を厳密に再現しなければならないため、重みの合計は区間の長さに等しくなります。
値の精度はどのくらいですか？ 本ツールは倍精度（double）で計算しており、有効桁数はおよそ15桁です。それ以上の桁数を指定した場合でも、倍精度で表現できる範囲に丸められます。
厳密に積分できる最大次数は？ \(n\)点公式は、次数\(2n-1\)までのすべての多項式を厳密に積分できます。
